专题三 数列
第1讲 数列的通项与求和问题
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10等于 A．9 C．11
B．10 D．12
( )．
1
解析 设等差数列{an}的公差为d，则有(a4＋a5)－(a2＋a3)＝4d＝2，所以d＝2.又(a9＋a10)－(a4＋a5)＝10d＝5，所以a9＋a10＝(a4＋a5)＋5＝11. 答案 C
2．(2014·嘉兴教学测试)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7＝ A．4 C．8
B．6 D．8－42
( )．
2
解析 在等比数列{an}中，a3a7＝a2a2a6＝a3a5，所以a3＋2a2a6＋a3a7＝a25，3＋2a3a5222＋a25＝(a3＋a5)＝(2－1＋2＋1)＝(22)＝8.
答案 C
1111
3．已知数列12，34，58，716，…，则其前n项和Sn为 1
A．n2＋1－2n 1
C．n2＋1－n－1 2
1
解析 因为an＝2n－1＋2n，
1?1?1－?·2n?n?1＋2n－1???212
则Sn＝＋＝n＋1－
212n. 1－2答案 A
- 1 -
( )．
1
B．n2＋2－2n D．n2＋2－
2
n－1
1
S2 012
4．(2014·烟台一模)在等差数列{an}中，a1＝－2 012，其前n项和为Sn，若2 012－S1010＝2 002，则S2 014的值等于 A．2 011 C．2 014
B．－2 012 D．－2 013
?
?
( )．
?Sn?n?n－1?Snd
解析 等差数列中，Sn＝na1＋2d，n＝a1＋(n－1)2，即数列?n?是首项为
dS2 012S10d
a1＝－2 012，公差为2的等差数列；因为2 012－10＝2 002，所以，(2 012－10)2d
＝2 002，2＝1，所以，S2 014＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1]＝2 014，选C. 答案 C
an＋1－1
5．(2014·合肥质量检测)数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则
an＋1＋1T2 014＝ 1A.6 C．6
1B．－6 D．－6
( )．
an＋1－11＋an
解析 由an＝，得an＋1＝. an＋1＋11－an
11
∵a1＝2，∴a2＝－3，a3＝－2，a4＝3，a5＝2，a6＝－3. 故数列{an}具有周期性，周期为4，∵a1a2a3a4＝1， ∴T2 014＝T2＝a1a2＝2×(－3)＝－6. 答案 D 二、填空题
an－1an1
6．(2014·衡水中学调研)已知数列{an}满足a1＝2，an－1－an＝(n≥2)，则该
n?n－1?数列的通项公式an＝________. an－1an
解析 ∵an－1－an＝(n≥2)，
n?n－1?∴
an－1－an11111
＝，∴a－＝－n， an－1ann?n－1?nan－1n－1
- 2 -
111111111111∴a－a＝1－2，a－a＝2－3，…，a－＝－n， 2132nan－1n－1111111∴a－a＝1－n，又∵a1＝2，∴a＝3－n，
n
1
n
n
∴an＝. 3n－1答案
n
3n－1
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于________． 解析 由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝2，am＋1＝3，所以d＝1， 因为Sm＝0，故ma1＋因为am＋am＋1＝5，
故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5. 答案 5
8．(2014·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1
＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
解析 ∵a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10·a11＝e5， ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝10ln(a10·a11)＝10·ln e5＝50. 答案 50 三、解答题
9．(2014·北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d＝
a4－a112－3
3＝3＝3.
m?m－1?m－1
d＝0，故a＝－1
22，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)． 设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得 b4－a420－12
q3＝＝＝8，解得q＝2.
b1－a14－3
- 3 -
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1. 从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)． (2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．
n1－23－
数列{3n}的前n项和为2n(n＋1)，数列{2n1}的前n项和为＝2n－1.
1－2
3
所以，数列{bn}的前n项和为2n(n＋1)＋2n－1.
10．(2014·江西卷)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足 anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
an(1)令cn＝b，求数列{cn}的通项公式；
n
(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.
解 (1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)， 所以
an＋1an－＝2，即cn＋1－cn＝2. bn＋1bn
所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1. (2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，
于是数列{an}前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n1，
－
3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，
相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n， 所以Sn＝(n－1)3n＋1.
111．(2014·成都诊断)已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且2，an，Sn成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足
?1?
bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求数列?b?的前
?n?
n项和．
11
解 (1)∵2，an，Sn成等差数列，∴2an＝Sn＋2， 11
当n＝1时，2a1＝S1＋2，∴a1＝2， 11
当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，
- 4 -
an两式相减得：an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2，
an－11
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 1
即an＝2×2n－1＝2n－2.
(2)∵bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)＝(log222n＋1－2)×(log222n＋3－2) ＝(2n－1)(2n＋1)， 1∴b＝n
1?111?1
×＝2?2n－1－2n＋1?， 2n－12n＋1??
1111
n项和Tn＝b＋b＋b＋…＋b＝
1
2
3
n
?1?
∴数列?b?的前
?n?
1??1??11?1???1
??1－3?＋?3－5?＋…＋?2n－1－2n＋1?? 2????????1?1?n＝2?1－2n＋1?＝. ??2n＋1
- 5 -
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