5.1 平面向量的概念及线性运算
§
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 交换律：a＋b＝b加法 求两个向量和的运算 ＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，求实数λ与向量a的积的运算 λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； a－b＝a＋(－b) λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘 当λ＝0时，λa＝0
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
概念方法微思考
1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？ 提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa. 2．如何理解数乘向量λa.
提示 λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
→→
(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × ) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立．( √ ) 题组二 教材改编
→→→→
2．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________.(用a，b表示) 答案 b－a －a－b
→→→→
解析 如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，
→→→→→
BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
→→→→
3．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2OA＋OC＝2OD＋OB，则四边形ABCD的形状为________． 答案 梯形
→→→→解析 ∵2OA＋OC＝2OD＋OB， →→→→→→∴2(OA－OD)＝OB－OC，即2DA＝CB， →→→1→∴DA∥CB，且|DA|＝|CB|，
2∴四边形ABCD是梯形． 题组三 易错自纠
4．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A
解析 若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b. 若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件． 5．(多选)下列四个命题中，错误的是( ) A．若a∥b，则a＝b C．若|a|＝|b|，则a∥b 答案 ABC
6．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 1答案 2
解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，
??λ＝μ，1
使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则?解得λ＝μ＝. 2??1＝2μ，
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
B．若|a|＝|b|，则a＝b D．若a＝b，则|a|＝|b|
→1→→→→→→
7．在△ABC中，点E，F满足AE＝AB，CF＝2FA，若EF＝xAB＋yAC，则x＋y＝ _____.
21
答案 －
6
1→1→→→→
解析 依题意有EF＝EA＋AF＝－AB＋AC，
23111
所以x＝－，y＝，所以x＋y＝－.
236
平面向量的概念
1．(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
→→
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则ABCD为平行四边形 C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 答案 ACD
解析 A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
→→→→→→
B正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． 故选ACD.
2．若a0为单位向量，a为平面内的某个向量，下列命题中： ①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0； ②若a与a0平行，则a＝|a|a0； ③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0， 假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D
解析 ①②③均为假命题． 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．
平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( ) A．a⊥b C．a∥b 答案 A
解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则． →→
在?ABCD中，设AB＝a，AD＝b，
B．|a|＝|b| D．|a|>|b|
→→
由|a＋b|＝|a－b|知，|AC|＝|DB|，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b. 故选A.
方法二 ∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b. ∴a·b＝0.∴a⊥b. 故选A.
命题点2 向量的线性运算
→例2 (2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于( ) 3→1→A.AB－AC 443→1→C.AB＋AC 44答案 A
解析 作出示意图如图所示．
1→3→
B.AB－AC 441→3→D.AB＋AC 44
→→→1→1→
EB＝ED＋DB＝AD＋CB
2211→→1→→
＝×(AB＋AC)＋(AB－AC) 2223→1→
＝AB－AC.故选A. 44
命题点3 根据向量线性运算求参数
→→→→→→→例3 (2019·江西省名校联考)在△ABC中，BD＝DC，AP＝2PD，BP＝λAB＋μAC，则λ＋μ等
于( )
1111A．－ B. C．－ D.
3322答案 A
→→→→解析 因为BD＝DC，AP＝2PD， →1→1→3→所以AD＝AB＋AC＝AP，
222→1→1→
所以AP＝AB＋AC，
33
2→1→→→→
所以BP＝AP－AB＝－AB＋AC，
3321→→→
因为BP＝λAB＋μAC，所以λ＝－，μ＝，
331
所以λ＋μ＝－.故选A.
3
思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
1
跟踪训练1 (1)(2020·河北省衡水中学模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD
2→
＝DA，DE⊥AC于点E，则DE等于( )
1→1→A.AB－AC 22
1→1→
B.AB＋AC 22
1→1→C.AB－AC 24答案 A
1→1→
D.AB＋AC 24
1
解析 因为DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，
2所以E是AC的中点，
→1→1→1→→1→可得DE＝DA＋DC＝(DC＋CA)＋DC
2222→1→1→1→
＝DC－AC＝AB－AC，故选A.
222
→→→
(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB＝xAE＋yAF(x，y∈R)，则x－y＝________. 答案 2
→→→→1→
解析 由题意得AE＝AB＋BE＝AB＋AD，
2→→→→1→AF＝AD＋DF＝AD＋AB，
2→→→因为AB＝xAE＋yAF，
y→x→→x＋?AB＋?＋y?AD， 所以AB＝??2??2?
?所以?x
?2＋y＝0，
所以x－y＝2.
y
x＋＝1，2
?解得?2
y＝－?3，4x＝，3
共线定理的应用
→→→
例4 已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明 (1)若m＋n＝1，
→→→→→→则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)， →→→→∴OP－OB＝m(OA－OB)， →→→→
即BP＝mBA，∴BP与BA共线．
→→
又∵BP与BA有公共点B，则A，P，B三点共线． →→
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP＝λBA， →→→→∴OP－OB＝λ(OA－OB)． →→→又OP＝mOA＋nOB.
→→→→
故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB， →→
即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0.
→→
∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，
??m－λ＝0，∴?∴m＋n＝1. ?n＋λ－1＝0，?
思维升华 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，→→
当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线?AB，AC共线． (3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
→→→
(4)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 跟踪训练2 (1)设两个非零向量a与b不共线． 若ka＋b与a＋kb共线，则k＝________. 答案 ±1
解析 ∵ka＋b与a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0.
消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.
(2)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不→→→→
同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B
解析 方法一 连结AO，
→1→→则AO＝(AB＋AC)
2m→n→＝AM＋AN， 22
因为M，O，N三点共线， mn
所以＋＝1，所以m＋n＝2.
22方法二 连结AO(图略)．
→1→→
由于O为BC的中点，故AO＝(AB＋AC)，
21→→→→1→→
MO＝AO－AM＝(AB＋AC)－AB
2m11?→1→
＝??2－m?AB＋2AC， 11?→→1→同理，NO＝AB＋??2－n?AC. 2
→→→→由于向量MO，NO共线，故存在实数λ使得MO＝λNO， 11→11?→1→1→
－AB＋AC＝λ?AB＋?2－n?AC?. 即?????2m?2?2→→
由于AB，AC不共线， 11?1111
－， 故得－＝λ且＝λ?2m22?2n?消掉λ，得(m－2)(n－2)＝mn， 化简即得m＋n＝2.
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