高中数学奥赛辅导

数列与递进 知识、方法、技能

数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题.

所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1, a2, …,an, …通常简记为{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.

从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.

对于数列{an}，把Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和，则有

(n?1),?S1 an???Sn?Sn?1(n?2).I．等差数列与等比数列 1．等差数列

（1）定义：an?1?an?d(常量)或an?1?（2）通项公式：an=a1+(n－1)d . （3）前n项和公式：Sn?an?an?2. 2n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22（4）等差中项：an?1?an?an?2. 2（5）任意两项：an=am+(n－m)d. （6）性质：

①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n的一次函数；

②公差为非零的等差数列的充要条件是前n项和公式为n的不含常数项的二次函数； ③设{an}是等差数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq;

④设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …, Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、p∈N*)仍成等差数列； ⑤设Sn是等差数列{an}的前n项和，则{Sn}是等差数列； n⑥设{an}是等差数列，则{λan+b}(λ,b是常数)是等差数列；

⑦设{an}与{bn}是等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1，λ2是常数）也是等差数列；

⑧设{an}与{bn}是等差数列，且bn∈N*，则{abn}也是等差数列（即等差数列中等距离分

离出的子数列仍为等差数列）； ⑨设{an}是等差数列，则{C2．等比数列 （1）定义：

an}（c>0, c≠1）是等比数列.

an?1aa?q(常量),或n?2?n?1 anan?1ann－1

（2）通项公式：an=a1q.

(q?1).?na1?（3）前n项和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq

?1?q?1?q(q?1).?（4）等比中项：an?1??anan?2. （5）任意两项：an=amq.

（6）无穷递缩等比数列各项和公式： S=

n－m

?an?limSn?n?1n????a1(0?|q|?1). 1?q（7）性质：

①设{an}是等比数列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么am·an=ap·aq；

②设Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …， Spm－S(p－1)m(m>1, p≥3，m、n∈N*)仍为等比数列；

③设{an}是等比数列，则{λan}（λ是常数）、{an}（m∈Z*）仍成等比数列； ④设{an}与{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列；

⑤设{an}是等比数列，{bn}是等差数列，bn∈Z*，则{abn}是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；

⑥设{an}是正项等比数列，则{logcan}(c>0, c≠1)是等差数列.

m赛题精讲

例1 设数列{an}的前n项和Sn=2an－1(n=1, 2,…)，数列{bn}满足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求数列{bn}的前n项之和.

（1996年全国数学联赛二试题1）

【思路分析】欲求数列{bn}前n项和，需先求bn. 由ak=bk+1－bk, 知求ak即可，利用 ak=Sk－Sk－1(k=2, 3, 4,…)可求出ak.

【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1, 又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,因

n－1

此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则有an=2.

由ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得

a1=b2－b1, a2=b3－b2, a3=b4－b3, …, an－1=bn－bn－1,将上面n－1个等式相加，得bn－

b1=a1+a2+…+an. 即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+2+…+2)=2+2,所以数列{bn}的前n项和为

2n－1n

Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+2）+…+（2+2）=2n+2－1.

【评述】求数列的前n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法.

例2 求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形.

【思路分析】由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，知∠B=60°，三个角可设为60°

2

－d, 60°, 60°+d，其中d为常数；又由对应的三边a、b、c成等比数列，知b=ac，或将

2

三边记为a、aq、aq，其中q为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.

2

【证】设△ABC的三个内角为A、B、C及其对边a、b、c，依题意b=ac, ∠B=60°.

2n－1n－1

a2?c2?b21?cos60??,所以a2?c2?ac?ac, 【方法1】由余弦定理，得cosB?2ac2整理得(a－c)=0因此a=c.

故△ABC为正三角形.

2

【方法2】设a、b、c三边依次为a、aq、aq，由余弦定理有

2

a2?(aq)2?(aq2)2142?cosB=,整理得q－2q+1=0,解得q=1, q=－1（舍去） ?cos60?222?a?aq所以a=b=c,故此△ABC为正三角形.

2

【方法3】因为b=ac, 由正弦定理：

22

(2RsinB)=2RsinA·2RsinC（其中R是△ABC外接圆半径）即sinB=sinA·sinC，把 B=60°代入得sinA·sinC=

313，整理得[cos(A－C)－cos(A+C)=，即cos(A－C)=1,424所以A=C，且∠B=60°，故此△ABC为正三角形.

2

【方法4】将60°－d, 60°, 60°+d代入sinB=sinAsinC, 得sin(60°－d)·sin(60°+d)=

313，即[cos(2d)－cos120°]= . 424得cos2d=1, d=0°,所以∠A=∠B=∠C，故△ABC为正三角形.

【评述】方法1、2着眼于边，方法3、4着眼于角.

例3 各项都是正数的数列{an}中，若前n项的和Sn满足2Sn=an+式.

【思路分析】 在Sn与an的混合型中，应整理成数列{Sn}的递推式或数列{an}的递推式，然后用递推关系式先求出Sn，再求an，或直接求an.本题容易得到数列{Sn}的递推式，利用an=Sn－Sn－1先求出Sn，再求an即可.

【解】n≥2时，将an=Sn－Sn－1代入2Sn=an+

1,求此数列的通项公an11,得2Sn=Sn－Sn－1+,整理得 anSn?Sn?1222Sn?Sn ?1?1(n?2),且S1?a1?1,所以数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，

2即Sn?1?(n?1)?1?n,Sn?n,从而an?Sn?Sn?1?n?n?1(n?2),当n=1

时，由2S1=a1+

1,得a1=1也满足an?n?n?1. an故数列{an}的通项公式为an?n?n?1.

【评述】处理本例的思想方法，可用来求满足Sn与an混合型中的通项公式. 例4 设数列{an}的前n项和Sn与an的关系为Sn=－ban+1－

1，其中b是与n无

(1?b)n关的常数，且b≠－1.（1）求an与an－1的关系式；

（2）写出用n与b表示an的表达式.

【思路分析】利用Sn=an－an－1(n≥2)整理出数列{an}的递推关系式求an.

【解】（1）a1?S1??ba1?1?当n≥2时，an=Sn－Sn－1= －ban+1－

11得a1? (1?b)(1?b)211b?[?ba?1?]??ba?ba?,整理得 n?1nn?1nn?1n(1?b)(1?b)(1?b)an?bban?1?(n?2)1?b(1?b)n?11,4(*)

(2)当b?1时,a1?an?1111nn－1n

得2an=2an－1+,可知数列{2an}是以2a=为an?1?n?1,两边同乘以2n，

2222111nnn首项，公差为的等差数列.所以2an??(n?1)?,即an?n?1.

22222当b≠1，b≠－1时， 由（*）式得(1+b)an=b(1+b)

n

n－1

an－1+

b 1?b1?bn1?bn?11有()an?()an?1?.n?1bb(1?b)b1?bn1令cn?()an,则cn?cn?1?.n?1b(1?b)b

从而数列{cn－cn－1}就是一个等比数列，n取2，3，…，n得

11,c3?c2?,?,2(1?b)b(1?b)b1cn?cn?1?,上述n?1个式子相加得n?1(1?b)b11111?b1cn?c1?(?2???n?1),且c1?a1?,1?bbbb1?bb11111?bn所以cn?(1??2???n?1)?n?1,1?bbbbb(1?b)(1?b)c2?c1?bnbn1?bnb(1?bn)从而an??cn???,(1?b)n(1?b)nbn?1(1?b)(1?b)(1?b)(1?b)n?1故数列{an}的通项公式为

?n?2n,?an??n?b(1?b)n?1??(1?b)(1?b)b?1,

b??1.【评述】构造辅助数列是解由递推关系式给出数列求通项的一个基本方法，本例构造了

辅助数列{cn}、{cn－cn－1}，使数列{cn－cn－1}为等比数列，化未知为已知，从而使问题获解.

2

例5 n(n≥4)个正数排成n行n列 a11 a12 a13 a14…… a1n a21 a22 a23 a24…… a2n a31 a32 a33 a34…… a3n a41 a42 a43 a44…… a4n … … … … …… … an1 an2 an3 an4…… ann

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1, a42=

13，a43=,求a11+a22+a33+…+ann.（1990年全国高中数学联赛试题） 816【思路分析】求和需要研究a11和akk，又每列成等比数列且公比相等，只需要研究a1k

和q,又每行成等差数列，需要求得an和第一行的公差d，因而本题利用已知建立an、d和q之间关系，使问题获解.

【解】设第一行数列公差为d，各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44, 所以a44=2a43－a42=2×

311122

－=.又因为a44=a24·q=q,所以q=,于是有

216841?a?a?q?(a?3d)?1,1411??242 ?

11?a?a?q3?(a?d)()3?,421211?28?