必修5第一章正余弦定理练习及答案

1

解 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，∴16＝(b＋c)2－2bc－bc∴bc＝8，

2

?b＋c＝6，?

又∵b＋c＝6，b

??bc＝8，

23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1. (1)求角C的度数； (2)求AB的长； (3)求△ABC的面积．

1

(1)cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°(2)∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，

2

?a＋b＝23，13∴?∴AB2＝a2＋b2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝10.(3)S△ABC＝absin C＝. 22?ab＝2.

24．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asin A＋csin C－2asin C＝bsin B. (1)求B； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c.

(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，故cos B＝(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝2

.因此B＝45°. 2

2＋62＋6bsin Absin Csin 60°

. 故a＝＝＝1＋3，c＝＝2×＝6. 4sin Bsin Bsin 45°2

25．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．

???a－b＝4?a＝b＋4

?解 由，得?.∴a>b>c，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos 120°， ?a＋c＝2b???c＝b－4

1

－?，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.当b＝10时，a＝14，c＝6. 即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×??2?26．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大小；(2)若c＝3a，求tan A的值．

a2＋c2－b21π

解 (1)由余弦定理，得cos B＝＝. ∵0

2ac23

b2＋c2－a257

(2)法一 将c＝3a代入a＋c－b＝ac，得b＝7a.由余弦定理，得cos A＝＝. 2bc14

2

2

2

∵0

21sin A3.∴tan A＝＝. 14cos A5

π21

法二 将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a.由正弦定理，得sin B＝7sin A.∵B＝，∴sin A＝.

31457sin A3

又∵b＝7a>a，则B>A，∴cos A＝1－sin2A＝.∴tan A＝＝.

14cos A5

25

27．在△ABC中，B＝45°，AC＝10，cos C＝.(1)求边BC的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．

5AC10310

解 (1)由正弦定理知BC＝·sin A＝·＝32.

sin B210

2(2)由余弦定理知CD＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos B＝

1＋18－2×1×32×

2＝13. 2

28.在△ABC中，A＝120°，c>b，a＝21，S△ABC＝3，求b，c.

1

解 ∵S△ABC＝bcsin A＝3，∴bc＝4.① 又a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b＋c＝5，②

2又c>b，由① ②得b＝1，c＝4.

π

29．在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝. 3(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积． 113

解 (1)∵S＝absin C＝ab·＝3，∴ab＝4.

222＝(a＋b)2－12＝4.∴a＋b＝4.

① ∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－2abcos C

② 由①②可得a＝2，b＝2.

2343

(2)∵sin B＝2sin A，∴b＝2a.又∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝4.∴a＝，b＝.

33123∴S＝absin C＝. 23

1.2 正、余弦定理应用举例

1．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为 ( B ) A．a km

B.3a km C.2a km

D．2a km

2．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 A．103 n mile

( .D )

D．56 n mile

106

B. n mile C．52 n mile

3

3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为

( A )

A．(30＋303) m C．(15＋303) m

B．(30＋153) m D．(15＋33) m

4．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 ( B ) A．20(6＋2) 海里/小时 B．20(6－2) 海里/小时 C．20(6＋3) 海里/小时 D．20(6－3) 海里/小时

5.某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为3 km，那么x的值为 A.3

D．3

(C )．

B．23 C．23或3

解析 根据余弦定理可得，(3)2＝x2＋32－2×3xcos(180°－150°)，即x2－33x＋6＝0，∴x＝23或3. 6.从200 m高的山顶看，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( A )．

400

A. m 3

4003B. m

32003C. m

3

200D. m 3

200

解析 由山顶与塔底的俯角为60°可知，山脚与塔底的水平距离为，又山顶看塔顶的俯角为30°，设塔高

32003400

为x m，则200－x＝×，∴x＝ m．故选A.

333

7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是

( D )．

A．1002 m B．400 m C．2003 m D．500 m

解析 由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在 Rt△ABD 中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2 ＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解 之得h＝500 m．故选D.

8. 如图所示，为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A，B，在另一侧岸边选定C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为____60 m____． 3＋33－3hh

设河宽h m，则＋＝120，又∵tan 75°＝，∴3h＋h＝120，

tan 30°tan 75°3－33＋3∴h＝60 m.

9．已知A，B两岛相距10 n mile，从A岛看B，C两岛的视角为60°，从B岛看A，C两岛的视角是75°，则B，C两岛的距离为__ 56______ n mile.

解析 A，B，C为△ABC的顶点，且A＝60°，B＝75°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋75°)＝45°. ABsin A10·sin 60°

根据正弦定理得，BC＝＝＝56 (n mile)．

sin Csin 45°

10．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距3 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．

解 如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，

∴AC＝CD＝3 (km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°. ∴BC＝3sin 75°6＋2

＝ (km)．

sin 60°2

点

△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋?

?6＋2?2－23×6＋2×cos 75°

＝3＋2＋3－3＝5， ?2?2?∴AB＝5 (km)．∴A、B之间的距离为5 km.

11．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．

如图所示

30

＝303 (m)．在△BCD中，tan 30°

∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30 (m)，∴BC＝30 (m)，BD＝CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，∴CD＝30 (m)，即两船相距30 m.