主应力方程： 其中， ?3?I1?2?I2??I3= 0 I1??x??y??z222I2??(?x?y??y?z??z?x)??xy??yz??zx ?x ?xy ?xz222I3??yx ?y ?yz??x?y?z?2?xy?yz?zx??z?yz??y?zx??z?xy?zx ?zy ?zI1，I2，I3与坐标轴的选择无关。分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。
当x，y，z轴和三个主轴方向一致时： I1??1??2??3 I2??(?1?2??2?3??3?1)
I3??1?2?3由主应力方程可以求出三个主应力。 以求得的任一个主应力σj（j = 1，2，3）代入 σijli－σlj=0 都可以得到关于I1，I2，I3的三个方程，其中只有两个是独立的，与
l12?l22?l32?lili=1 联立可解出主应力σj（j = 1，2，3）所在的主平面方位。 3．平均应力、应力球张量及应力偏张量
?m?I1?131??1??2??3??1??x??y??z? 33叫做平均应力。 在各方向同时作用有大小为?m的应力时，相当于静水压力（或反向的静水压力），它不产生塑性变形，所以从应力张量中将各向相同的?m分离出来，对于研究塑性变形更为方便，即
??x ?xy ?xz???m 0 0???x??m ?xy ?xz?????????yx ?y ?yz???0 ?m 0????yx ?y??m ?yz? * ?? ? ???0 0 ???? ? ????m?zyzm??zxzyz???zx如果令
?sx sxy sxz???x??m ?xy ?xz???m 0 0????????m?ij=?0 ?m 0?，sij??syx sy syz????yx ?y??m ?yz? ?s s s??? ? ??????0 0 ?m??zyzm??zxzyz??zx则*式可写为： ?ij??m?ij?sij ?1, 当i?j ?ij???0 当i?j?m?ij称为应力球张量，不引起塑性变形；
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sij称为应力偏张量，简称应力偏量，引起塑性变形。
应力偏张量的第一、第二、第三不变量分别为： J1?sx?sy?sz??x??y??z?3?m?0222J2??(sxsy?sysz?szsx)??xy??yz??zx 1222222 ?[(?x??y)?(?y??z)?(?z??x)?6(?xy??yz??zx)]6222J3?sxsysz?2?xy?yz?zx?sz?yz?sy?zx?sz?xy当x，y，z轴方向和主轴重合时： J1?01J2?[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2]
6J3?s1s2s3还可写为：
1112222J2?[sx2?sy?sz2?2(?xy??yz??zx)] ?sijsji?sijsij
22213133222J3?[sx?sy?sz?6?xy?yz?zx?3?xy(sx?sy)?3?yz(sy?sz)?3?zx(sz?sx)] ?sijsjkskj
334．几种特定截面上的应力
图2.3 图2.4
在图2.4中，主平面用Ⅰ表示，Ⅱ表示与三个主轴成相等倾斜角的斜截面，称为八面体面（或等倾面）。其方向余弦为：
1?3??1?l2???
3?1?l3???3?l1??1八面体面上的正应力： ?8?(?1??2??3)??m
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八面体面上的剪应力： ?8?1(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2=32J2 3等效应力（或应力强度） 31?i??8?3J2?(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??2)222
1222 ?(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?6(?xy??yz??zx)2也就是说，原来的复杂应力状态，在某种意义上可以用等效的，大小为σi的单向应力状态来代替。
等效剪应力（或剪应力强度） T?31?8?(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??2)2 26也就是说，原来的复杂应力状态，在某种意义上可以用等效的，大小为T的纯剪切应力状态来代替。
图2．4中斜面Ⅲ上的剪应力：
2?????3? ?2?1?
2????2??3?12??它们分别是平行于某一主应力轴的所有截面中剪应力最大的截面。如果σ1≥σ2≥σ3，则
?1??2??3??max??2??1??32
5．三维应力圆 表示应力状态特征的参数 在图2.5中的σ轴上取OP1、OP2、OP3之长分别等于三个主应力σ1、σ2、σ3，以P2P3，P1P3 ，P1P2为直径作三个圆，命名为圆A，圆B及圆C，则圆A即代表平行于σ1的所有截面上的正应力和剪应力，圆B和C分别代表平行于σ2和平行于σ3所有截面上的正应力和剪应力。阴影区则表示不与任何主应力平行的斜截面上的正应力和剪应力。
在σ轴上取OM=σm，并将τ轴移至过M点处，则在以M为原点的σ、??轴上，此三维应力圆即为应力偏张量的应力圆。此时有
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图2.5 MP1 = ?1??m?s1
?2??m?s2
MP3 = ?3??m?s3
MP2 =
三维应力圆以及应力偏张量是由P1、P2 ，P3三点的相对位置来确定的。 表示应力状态的Lode参数： ???O1P2OP2?OO1??O1P1OP1?2?(?1??3)1(?1??3)212?2?2?(?1??3) ?1??3（1）单向拉伸：?1?0,?2??3?0，有：??=－1。 （2）纯剪切：?2?0,?1???3，有：??=0。 （3）单向压缩：?1??2?0,?3?0，有??=1 6．应变张量及其分解、应变不变量
在小变形情况下，应变分量与位移分量的关系为：
?u?u?v?, ?xy??yx???x?y?x???v?v?w??y?, ?yz??zy???
?y?z?y??w?w?u??z?, ?zx??xz????z?x?z?因为?xy??yx, ?yz??zy, ?zx??xz，所以，决定应变状态的独立应变分量有六个。它们形成
?x?一个对称的应变张量：
11???x ?xy ?xz??? ? ?xxyxz????22????11?ij???yx ?y ?yz????yx ?y ?yz?
???22?????11????zx ?zy ?z?? ? ??zyz??2?zx???2?
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