如果用u1、u2、u3表示位移分量u、v、w，则应变分量的各个分量与各位移分量的关系可以用张量形式表示：
?1ij?2(ui,j?uj,i)
下标中的“，”表示求导。
与应力张量类似，应变张量也可以得到三个不变量，它们是： I1???x??y??zI?2??(??1222xy??y?z??z?x)?4(?xy??yz??zx) ?11x 2?xy 2?xzI?3?12??1yx y 2?yz12?1zx 2?zy ?z当x，y，z轴和三个主轴方向一致时，用ε1、ε2、ε3表示主应变，则有： I1???1??2??（体积应变）3 I?2??(?1?2??2?3??3?1) I?3??1?2?3平均线应变：
?1m?I131??3??1??2??3??13??x??y??z? 与应力张量类似，可以把应变张量分解为球张量及偏张量，即 ???x 1?1?xy ?xz??m 0 0?????1?m 1?xy ?xz?22????x2??1?? ?1????2??0 ?11?y ?yz?m 0??2yx2?????yx ?y??m ?yz??1???2?1?????22?11?zx 2?zy ?z?????0 0 ?m?????2?zx 2?zy ?z??m???如果令
??ex exy exz?????m 1?xy 1??xz????x?22??e? e1?1ij??eyxy eyz???yx ?y??m ?yz? ???22? ???11??ezx ezy e???2?z??zx 2?zy ?z??m???则*式可写为：
?ij??m?ij?eij
在变形过程中，如体积不变，则?m=0，应变偏张量与应变张量相等：
?ij?eij
分别以J1，J2，J3表示应变偏张量的第一、第二、第三不变量，则有：
* 9
J1??ex?ey?ez??x??y??z?3?m1222???(exey?eyez?ezex)?(?xyJ2??yz??zx)4 13222222 ?[(?x??y)?(?y??z)?(?z??x)?(?xy??yz??zx)]621111222??exeyez??xy?yz?zx?ex?yzJ3?ey?zx?ez?xy4444当x，y，z轴方向和主轴重合时： J1??01??[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2] J26??e1e2e3J3? 、J3?还可以写成： J21??eijeji J221?J3?eijejkekj
37．几种特定截面上的应变 （1）八面体面上的正应变：?8?（2）八面体面上的剪应变： 1(?1??2??3)??m 3?8?2?2J2 (?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?233（3）等效应变（应变强度）： ?J212?i??8?2?(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2332 ?23222(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?(?xy??yz??zx)32 其物理意义是：对于应变状态（?x，?y，?z，?xy，?yz，，用上式算出的应变强度εi，和体 ?zx）积不变（即泊松比μ=
11）的情况下单向拉伸时（ε1=εi，ε2 =ε3=?1）的应变强度相等，或者
222 =ε
说，从应变强度的角度看，应变状态（?x，?y，?z，?xy，?yz， ?zx）和应变状态（ε1=εi，ε
13=?1）是相当的。 232222??(???)?(???)?(???)（4）等效剪应变（剪应变强度）：Γ= 812233123其物理意义是：对于应变状态（?x，?y，?z，?xy，?yz，，用上式算出的剪应变强度Γ，和 ?zx）纯剪切情况下（?x??y??z??yz??zx?0, ?xy?Γ）时的剪应变强度相等，或者说，从剪应变强度的角度看，应变状态（?x，?y，?z，?xy，?yz， ?zx）和应变状态?x??y??z??yz??zx?0, ?xy?Γ是
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相当的。
12???2, ?8?J2?, Γ=γ。
438．各斜截面Ⅲ上的剪应变及最大剪应变：
?1??2??3???2??1??3? ?3??1??2??如果规定ε1≥ε2≥ε3，则γ 2为最大剪应变： ?max??1??3 9．表示应变状态的Lode参数。 2?2?(?1??3)???
?1??3（1）单向拉伸：?1?0, ?2??3，有 ??=－1。
（2）纯剪切：?2?0, ?1???3，有 ??=0。
（3）单向压缩：?1??2?0, ?3?0，有 ??=1。
第三章 塑性本构关系
1．塑性力学研究的主要内容
塑性力学主要研究在复杂应力状态下的屈服条件，加载准则，强化条件（只对强化材料），以及塑性应力应变关系的规律。
2．屈服条件的一般形式
屈服条件应该和所有应力分量有关，因而可以写成：
f1（?x, ?y, ?z, ?xy, ?yz , ?zx）= C
式中，f1称为屈服函数，C是与材料性质有关的常数。 若材料各向同性，则：
f（?1, ?2, ?3）= C（f是?1, ?2, ?3的对称函数） 或 f2（I1, I2, I3）= C
因为应力球张量不影响屈服，且J1=0，故屈服条件还可以写为：
f3（ J2, J3）= C
因为J3是应力偏量各分量的三次函数，当所有应力分量均改变符号（即由拉变压）时，J3也变号。但由实验结果可知，对一般韧性金属材料抗拉和抗压是具有对称性质的，即所有应力分量均改变符号时，屈服函数的值应当不变。故可断定：屈服函数应当是应力偏张量第二，第三不变量J2和J3的函数，同时又必须是J3的偶函数。
3．应力空间
以?1, ?2, ?3为坐标的三维空间，叫做应力空间（如图3.1所示）。，应力空间中的—点P，就代表一个应力状态，它的三个主应力是?1, ?2, ?3。
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图3.1 图3.2
4．屈服曲面
屈服条件表达式表示应力空间中的一个曲面，称为屈服曲面。 5．等倾线与π平面
等倾线：应力空间中通过原点与?1, ?2, ?3轴正方向成相同夹角的直线，称为等倾线。
111方向余弦为（，，）。
333方程式为： ?1??2? ?3
等倾线上的任意点所代表的应力状态都是球张量，其偏张量为零。 π平面：经过原点O以等倾线为法线的平面称为π平面（见图3.2）， 方程式为： ?1??2? ?3?0
π平面上的任意点所代表的应力状态，其球张量为零，这个应力状态本身就是一个偏张量。 设应力空间中任一点P表示应力状态（?1, ?2, ?3），矢量OP分解成沿等倾线和在π平面上的两个分量OQ和OS，则OQ和OS分别表示这一应力状态的球张量和偏张量。
5．屈服曲面和屈服轨迹
在应力空间中，靠近坐标原点且包括原点在内，有一个弹性区（在这个区内的点所表示的应力状态处于弹性阶段），而在其外则为塑性区（其中各点所表示的应力状态已进入塑性阶段）。这两个区的分界面就是屈服曲面，也就是屈服条件方程在应力空间中所代表的曲面，是一个柱面，其母线平行于等倾线。
屈服曲面与π平面的交线叫做屈服轨迹。 6.．π平面上的点所代表的应力状态
图3.5（a）示出在应力空间中一点P（或矢量OP）表示一个应力状态（σ1、σ2、σ3），现在将矢量OP分解为与三个坐标轴平行且首尾相接的三个矢量OA、AB、BP，即OA∥σ1轴，长为σ1，AB∥σ2轴，长为σ2，BP平行于σ3轴，长为σ3。
（a） （b） 图3.5
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