π??故f(x)的解析式为f(x)＝2sin?2x＋?. 6??6cosx－sinx－16cosx＋cosx－2
(2)g(x)＝＝ π2cos 2x??2sin?2x＋?2??
2
4
2
4
2
＝
x－
22
x＋
x－
3?21?2
＝cosx＋1?cosx≠?.
2?2?
122
因cosx∈[0,1]，且cosx≠，
2
?7??75?故g(x)的值域为?1，?∪?，?. ?4??42?
12．(能力提升)已知函数f(x)＝cosωx－3sin ωx2cos ωx(ω>0)的最小正周期是π. (1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心；
(2)若A为锐角三角形ABC的内角，求f(A)的取值范围． 1＋cos 2ωx3解析：(1)依题意，得f(x)＝－sin 2ωx
22π?1?＝cos?2ωx＋?＋，
3?2?2π
∵T＝＝π，∴ω＝1.
2ωπ?1?∴f(x)＝cos?2x＋?＋， 3?2?
π
由－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得
3－
2ππ
＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z. 36
2
2ππ?－＋kπ，－＋kπ?∴函数f(x)的单调递增区间为??，k∈Z. 6?3?ππ
令2x＋＝＋kπ，
32πkπ
∴x＝＋，k∈Z.
122
?πkπ1?∴对称中心为?＋，?，k∈Z. ?1222?
π
(2)依题意，得0 2∴ ππ4π<2A＋<， 333 π?1?∴－1≤cos?2A＋?<， 3?2?π?11?∴－≤cos?2A＋?＋<1， 3?22? ?1?∴f(A)的取值范围为?－，1?. ?2? [因材施教2学生备选练习] ?2?π 1．(2013年烟台模拟)已知函数f(x)＝2sin?＋x?－3cos 2x. ?4? (1)求f(x)的周期和单调递增区间； (2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈? ?π，π?上有解，求实数m的取值范围． ??42? ?2?π 解析：(1)f(x)＝2sin?＋x?－3cos 2x ?4??π?＝1－cos?＋2x?－3cos 2x ?2? ＝1＋sin 2x－3cos 2x π??＝2sin?2x－?＋1， 3??∴周期T＝π. πππ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋解得， 232π5π??单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)． 1212??π?π2π??ππ?(2)∵x∈?，?，∴2x－∈?，?， 3?3?6?42?π??1??∴sin?2x－?∈?，1?， 3??2??∴f(x)的值域为[2,3]． 而f(x)＝m＋2，∴m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]． 2．已知f(x)＝cos x(cos x－3)＋sin x(sin x－3)， (1)若x∈[2π，3π]，求f(x)的单调递增区间； ?π3π?(2)若x∈?，?且f(x)＝－1，求tan 2x的值． 4??2 解析：(1)由已知得， f(x)＝cos2x－3cos x＋sin2x－3sin x ＝1－3(cos x＋sin x) ?π?＝1－32sin?x＋?. 4?? ππ3π 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 242π5π 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)． 44又∵x∈[2π，3π]， ∴函数f(x)的单调递增区间是? ?9π，3π?. ? ?4? ?π?(2)由(1)知f(x)＝1－32sin?x＋?＝－1. 4?? 2?π?∴sin?x＋?＝. 4?3? π?5?π?2?∴cos 2?x＋?＝1－2sin?x＋?＝. 4?4?9??5 ∴sin 2x＝－. 9 3π??π3π??∵x∈?，?，2x∈?π，?. 4?2??2?2142∴cos 2x＝－1－sin2x＝－. 9sin 2x514 ∴tan 2x＝＝. cos 2x28
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