2020年中考数学圆专题复习及答案

2020年中考数学圆专题复习及答案

（名师总结历年中考真题，值得下载练习）

1．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O与BC相切于点C，⊙O与AB相交于点D，E是BC的中点．

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为5，

，求DE的长．

2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． （1）求证：△PCF是等腰三角形； （2）若tan∠ABC＝，BE＝

，求线段PC的长．

3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．

（1）求证：直线CE是⊙O的切线． （2）若BC＝3，CD＝3

，求弦AD的长．

4．如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．

（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）E为＝3

的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG

，求⊙O的半径．

5．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D

（1）求证：AO平分∠BAC；

（2）若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．

6．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，点C在半圆O上，且∠ACD＝∠B．

（1）求证：DC为圆O切线；

（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC、BC于点E、F，若AC＝3，BC＝4，求CE的长．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB边的中点O为圆心，线段OA的长为半径作圆，分别交BC、AC边于点D、E，DF⊥AC于点F，延长FD交AB延长线于点G． （1）求证：FD是⊙O的切线．

（2）若BC＝AD＝4，求tan∠GDB的值．

8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CD⊥AB，垂足为D，E为弧BC的中点，连接AE、BE，AE交CD于点F． （1）求证：∠AEC＝90°﹣2∠BAE；

（2）过点E作⊙O的切线，交DC的延长线于G，求证：EG＝FG； （3）在（2）的条件下，若BE＝4

，CF＝6，求⊙O的半径．

9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF． （1）求证：四边形DCFG是平行四边形． （2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．

10．如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点B作⊕O的切线，与CA的延长线相交于点E，F是BE的中点，延长AF与CB的延长线相交于点P． （1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）如图2，若AD⊥BC于点D，连接CF与AD相交于点G，求证：AG＝GD； （3）在（2）的条件下，若FG＝BF，且⊙O的半径长为3

，求BD的长度．

11．如图，AB是⊙O的直径，点C为

的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，

连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF． （1）求证：△BFG≌△CDG； （2）若AD＝BE＝2，求BF的长．

12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB，垂足为E，CE的延长线与DB相交于点F．已知AB＝8，CE＝（1）求BC的长； （2）若EF＝

，求CD的长．

．

13．AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两个点，AD交BC于点F，点E在AB上，DE交BC于点G，且∠DGF＝∠CAB． （1）如图1．求证：DE⊥AB．

（2）如图2．若AD平分∠CAB．求证：BC＝2DE．

（3）如图3．在（2）的条件下，连接OF，若∠AFO＝45°，AC＝

，求OF的长．

14．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝2

，BC＝

，求DE的长．

15．如图，点A、B、C、D是⊙O上的四个点，AC是⊙O的直径，∠DAC＝2∠BAC，过点B的直线与AC的延长线、DC的延长线分别相交于点E、F，且EF＝CF． （1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，CE＝3，求CD的长．

16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，点D是OC的延长线上，且CE＝AD，连接DE． （1）求证：四边形AOCD是菱形； （2）若AD＝6，求DE的长．

的中点，点E在

17．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，PA是⊙O的切线，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E． （1）求证：∠PAC＝∠PBA；

（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG?AB＝8，AF：FD＝1：3，GF＝1 ①求CF的长； ②求cos∠ACE的值．

18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝

∠BAC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长．

19．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP （1）求证：∠BAC＝2∠ACD；

（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．

20．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC． （1）求证：AC∥PO；

（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求

的值．

21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，⊙C与AB相切于点D，延长AC到点E，使CE＝AC，连接EB．过点E作BE的垂线，交⊙C于点P、Q，交BA的延长线于点F． （1）求AD的长；

（2）求证：EB与⊙C相切； （3）求线段PQ的长．

22．如图，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，点A是切点，点B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O，切线PA的延长线相交于C，Q两点． （1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）点D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为9，OQ＝15，求

的值．

23．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，连接PD． （1）求证：PD与⊙O相切；

（2）连结CO并延长⊙O于点F，连结FP交CD于点G，如果CF＝10，PE：PC＝4：5，求EG的长．

24．如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上一点，且PA＝PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证：AQ?PQ＝OQ?BQ； （3）设∠AOQ＝α，若

，OQ＝15，求AB的长．

25．如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证：AQ?PQ＝BQ?OQ；

（3）设∠APB＝α，若tana＝，AQ＝3，求AB的长．

26．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，AC与⊙O相交于点D，点E在AB的延长线上，且DE与⊙O相切，DE与BC相交于点F． （1）求证：CF＝DF；

（2）若CF＝3，EF＝7，求AC的长．

27．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且（1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AD＝12，AM＝MC，求

的值．

＝

．

28．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC∥OD，过点D的切线与AB的延长线交于点E，CB与OD相交于点F，若AB＝（1）求证：CB∥DE； （2）求BE的长．

，DB＝

．

29．如图，D为圆O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD． （1）图中∠ADB＝ °，理由是 ； （2）判断直线CD与圆O的位置关系，并证明；

（3）过点B作圆O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝6，tan∠CDA＝，求线段BE的长．

30．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O相切，切点分别为A、C，PC的延长线与AB的延长线相交于点D．

（1）猜想BC与OP的位置关系，并证明你的猜想； （2）若OA＝1，PA＝2，求BD的长．

31．如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点，腰AB与⊙O相切于点D （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）如图2，连接CD，若tan∠BCD＝

，⊙O的半径为

，求BC的长．

32．如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．

（1）求证：∠A＝∠BDC；

（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM＝1时，求MN的长．

33．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B． （1）求证：DC为⊙O的切线；

（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sinB＝，求CF的长．

34．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过点P作⊙O的切线，切点为D，BC垂直于PD，垂足为C，BC与⊙O相交于点E，连接OE，交BD于点F． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若BC＝6，tanP＝， ①求线段BD的长； ②求线段BF的长．

35．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC． （1）求证：直线DM是⊙O的切线；

（2）若DF＝2，且AF＝4，求BD和DE的长．

36．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切；

（2）若AB＝6，AD＝4，求EF的长．

37．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作ED⊥AE，垂足为E，交AB的延长线于F．

（1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若AD＝4

，AB＝6，求FD的长．

38．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线与AC的

延长线交于点E，且ED∥BC，连接AD交BC于点F． （1）求证：∠BAD＝∠DAE； （2）若DF＝

，AD＝5，求⊙O的半径．

39．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求

的值．

参考答案与试题解析

一．解答题（共39小题）

1．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O与BC相切于点C，⊙O与AB相交于点D，E是BC的中点．

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为5，

，求DE的长．

【解答】（1）证明：连接OD． ∵BC是⊙O⊙的切线，AC是直径， ，∴∠ACB＝90°， ∵AC是直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CDB＝90°， 又∵EB＝EC

∴DE为直角△DCB斜边的中线， ∴DE＝CE＝BC． ∴∠DCE＝∠CDE， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC，

∴∠ODC+∠CDE＝∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠ODE＝90° ∴DE是⊙O的切线． （2）∵

，

∴设AD＝x，CD＝2x， ∵AC＝5，AD2+DC2＝AC2， ∴x2+（2x）2＝52， ∴x＝即AD＝

， ，CD＝2

，

在Rt△BDC和Rt△ADC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ABC＝90°， ∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵△ADC∽△CDB， ∴即

＝＝

， ，

∴BC＝10． ∴DE＝BC＝5．

2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，

直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． （1）求证：△PCF是等腰三角形； （2）若tan∠ABC＝，BE＝

，求线段PC的长．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵弦CE平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠BCF＝45°， ∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥PC，

∴∠PCO＝90°，即∠PCB+∠OCB＝90°， 而OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， 而∠OBC+∠BAC＝90°， ∴∠PCB＝∠BAC，

∵∠PCF＝∠PCB+∠BCF＝∠PCB+45°，∠PFC＝∠FAC+∠ACF＝∠BAC+45°， ∴∠PCF＝∠PFC， ∴△PCF是等腰三角形； （2）解：连结AE，如图，

∵∠ABE＝∠ACE＝45°，∠BAE＝∠BCE＝45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴AB＝

BE＝

×

＝7，

＝，

在Rt△ACB中，tan∠ABC＝

设AC＝4x，BC＝3x，则AB＝5x， ∴5x＝7，解得x＝， ∴AC＝

，BC＝

，

∵AD⊥CD，OC⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠ACO， 而∠ACO＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴Rt△DAC∽Rt△CAB，

∴＝＝，即＝＝，

∴AD＝，DC＝，

∵OC∥AD， ∴△POC∽△PAD，

∴＝，即＝，

∴PC＝12．

3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．

（1）求证：直线CE是⊙O的切线． （2）若BC＝3，CD＝3

，求弦AD的长．

【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵AD平分∠EAC， ∴∠1＝∠3， ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴OD∥AE， ∵AE⊥DC， ∴OD⊥CE， ∴CE是⊙O的切线；

（2）连接BD．

∵∠CDO＝∠ADB＝90°，

∴∠2＝∠CDB＝∠1，∵∠C＝∠C， ∴△CDB∽△CAD， ∴

＝

＝

，

∴CD2＝CB?CA， ∴（3

）2＝3CA，

∴CA＝6，

∴AB＝CA﹣BC＝3，

＝

＝

，设BD＝

K，AD＝2K，

在Rt△ADB中，2k2+4k2＝9， ∴k＝∴AD＝

， ．

4．如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．

（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）E为＝3

的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG

，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵BC平分∠OBD， ∴∠OBC＝∠CBD， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OCB＝∠CBD， ∴OC∥AD， 而CD⊥AB， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接OE交AB于H，如图， ∵E为

的中点，

∴OE⊥AB， ∵∠ABE＝∠AFE，

∴tan∠ABE＝tan∠AFE＝， ∴在Rt△BEH中，tan∠HBE＝设EH＝3x，BH＝4x， ∴BE＝5x， ∵BG＝BE＝5x，

＝

∴GH＝x，

在Rt△EHG中，x2+（3x）2＝（3∴EH＝9，BH＝12，

设⊙O的半径为r，则OH＝r﹣9， 在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122＝r2，解得r＝即⊙O的半径为

．

，

）2，解得x＝3，

5．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D

（1）求证：AO平分∠BAC；

（2）若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．

【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示： ∵AB＝AC，OB＝OC，

∴A、O在线段BC的垂直平分线上， ∴AO⊥BC， 又∵AB＝AC， ∴AO平分∠BAC；

（2）解：延长CD交⊙O于E，连接BE，如图2所示： 则CE是⊙O的直径， ∴∠EBC＝90°，BC⊥BE， ∵∠E＝∠BAC， ∴sinE＝sin∠BAC， ∴

＝，

∴CE＝BC＝10， ∴BE＝∵AH⊥BC， ∴BE∥OA， ∴

，即＝

， ＝

，

，

＝8，OA＝OE＝CE＝5，

解得：OD＝∴CD＝5+

∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE， ∴OH是△CEB的中位线， ∴OH＝BE＝4，CH＝BC＝3， ∴AH＝5+4＝9， 在Rt△ACH中，AC＝

＝

＝3

．