例说圆锥曲线中证明(求)直线过定点的问题之欧阳体创编

欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03

对圆锥曲线中证明（求）直

线过定点的问题探讨

时间：2021.02.03 创作：欧阳体 漆绍杰

在圆锥曲线中直线与圆锥曲线相结合的问题是较为复杂的问题，其中有一类问题是证明（求）直线过一定点，对于这一类问题如何去思考呢？它们的共同的解题思路是怎样的呢？下面让我们一起来探讨一下。

既然直线过一定点，说明此直线的斜率是不定的，这使我们联想到过定点的直线系方程，过一定点P(x0,y0)的直线系方程可以写成的y?y0?k(x?x0)，那么我们先可写出直线的方程，再根据方程判断直线过哪一个定点。下面通过具体例子来说明。

例

2y1：已知抛物线?2px(p?0)上有两动点A,B及

一个定点M(x0,y0)，F为抛物线的焦点，且∣AF∣，∣MF∣，∣BF∣成等差数列。（1）求证线段AB的垂直平分线经过一定点Q(x0?p,0)；（2）若∣MF∣

?4，∣OQ∣?6（O为坐标原点），求此抛物线的方

程。

分析：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵∣AF∣，∣

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MFx1?∣，∣BF∣成等差数列，结合定义得

ppp?x2??2(x0?)?x1?x2?x0222，由此可设弦AB的中

点坐标为

(x0,b)。

y12?y22?2p(x1?x2)?kAB?y1?y22pp??x1?x2y1?y2b，弦AB的中

垂线方程为：

y?b??bb(x?x0)?y??(x?x0?p)pp0，故弦AB的中垂线

过定点(p?x,0)。（2）略。

例2：在双曲线

y2x2??11213的一支上有不同的三点

A(x1,y1),B(26,6),C(x2,y2)与焦点F(0,5)的距离成等差数

列。（1）求y1?y2的值。（2）证明线段AC的垂直平分线经过一定点，并求该定点的坐标。

分析：（1）∵∣AF∣，∣BF∣，∣CF∣成等差数列，则结合定义得

ey1?a?ey2?a?2(6e?a)?y1?y2?12，

（2）由此，可设弦AC的中点坐标为(x0,6) 由

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222xy12x12y2x2y?y12(x1?x2)12x0??1,??1?kAC?12???012131213x1?x213(y1?y2)13?613

弦AC的中垂线方程为：

故弦AB的中垂线过定点例3：过抛物线x2(0,25)2。

?y上的定点C(1,1)作两条互相垂

直的弦CA、CB，求证直线AB过定点。

分析：设

A(x1,y1),B(x2,y2)，则

y12?2px1,y22?2px2

OA?OB?OA?OB?0?(x1?1)(x2?1)?(y1?1)(y2?1)?02?(x1?1)(x2?1)?(x12?1)(x2?1)?0?(x1?1)(x2?1)?(x1?1)(x2?1)(x1?1)(x2?1)?0?(x1?1)(x2?1)(x1?x2?2)?0因为点A、B与点C不重合，所以(x1?1)(x2?1)?0故

x1?x2?2?0

2y1?y2?x12?x2?kAB?y1?y2?x1?x2x1?x2，直线AB的方程为：

y?y1?(x1?x2)(x?x1)

所以直线AB过定点(?1,2)。

评析：直线方程虽然被我们“强行”写了出来，但由此方程我们根本看不出直线过哪一定点，为此我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以达到我们的目的。 例4：

A,B是抛物线y2?2px(p?0)上的两点，满足

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