时记忆，对该信息的合适性作进一步考虑，结果可能是进一步寻找信息，也可能是通过反应器作出反应。（检索阶段） 期望事项是指学生期望达到的目标，即学习动机；正是因为学生对学习有某种期望，教师给予的反馈才会具有强化作用，因为反馈能肯定学生的期望·执行控制即加涅所讲的认知策略，执行控制。过程决定哪些信息从感觉登记进人短时记忆、如何进行编码、采用何种提取策略等。所以，期望事项与执行控制在信息加工过程中起着极为重要的作用。加涅认识到，人类学习的复杂性程度是不一样的，是由简单到复杂的。他的基本论点是，学习任何一种新的知识技能都是以已经习得的，从属于它们的知识技能为基础的。据此，他按8类学习的复杂性程度，提出了累积学习的模式，一般称之为学习的层次理论。这8类学习为：信号学习、刺激—反应学习、连锁学习、言语连结、辨别学习、概念学习、法则学习、问题解决。其中前4类学习是基础性的，相对来说比较简单，而且有相当一部分是学龄前就已习得的。因而，学校教育更关注的是后4类学习。但这并不意味着前4类学习不重要。加涅的学习层次说的一个重要特征是：学习是累积性的，较复杂、较高级的学习，是建立在基础性学习基础上的，每一类学习都是以前一类学习为前提的。
加涅的理论对数学学习有如下启示：
（1）可以把数学学习过程看作信息传递过程，从而有利于数学学习过程的研究。
（2）突出了学习活动固有的心理特征，有利于数学学习的调整。加涅的信息加工模式中（M2-1) 强调了“期望事项”和“执行控制”，从而揭示了学习活动固有的心理特征，例如，有些学生学习很努力，但成绩却不理想，问题往往出在认知策略上，应从学习方法上作改进；另有些学生很聪明，但学习不扎实，问题往往出在学习动机与学习态度上，需对其学习目的进行研究。
（3）揭示了学习发展的层次，有利于数学学习的计划安排。 （4）重视原认知结构在学习中的作用。 2.3.4 布鲁纳的认知——发现理论
布鲁纳是美国哈佛大学认知研究中心的主任，是西方认知心理学的主要代表人物之一他的认知——发现理论继承了完形说的观点，否认刺激与反应之间的直接联系，认为学习是通过认知，获得意义和表象，从而形成认知结构的过程。 布鲁纳最著名的也是引起争议最多的论点是：“任何学科都可以用理智上忠实的形式教给任何年龄阶段的任何儿童” ，所谓“理智上忠实的形式”，是指适合学生认知发展水平的学科的基本结构，或基本概念和基本原理。而发现学习是一种最佳的学习方式。
注重掌握学科的结构（学科的知识要素之间以一定联系构成的体系），而不是现成的正确答案，就必然会强调学习的过程，而不是学习的结果。因此，布鲁纳认为，学生在掌握学科的基本结构的同时，还要掌握学习该学科的基本方法，其中发现的方法和发现的态度是最为重要的。所谓发现，不只局限于发现人类尚未知晓的事物的行动，而且包括自己头脑亲自获得知识的一切形式。布鲁纳发现法的主要特征有：
（1）强调学习过程。布鲁纳认为，在教学过程中，学生是一个积极的探索者（而不是被动的、消极的知识接受者），教师的作用是要创设一种学生能够独立探索的情境，而不是提供现成的知识，学习的主要目的不是要记住教师和教科书上的讲的内容，而是要学生参与建立该学科的知识体系的过程。
图2-13
（2）强调直觉思维。布鲁纳认为，直觉思维对科学发现活动极为重要，不论是科学家还是小学生，都需要也都可以使用直觉思维，所不同的只是程度问题，其性质都是一样的，直觉思维的本质是映象或图像性的，是采取跃进，越级和走捷径的方式来思维的，教师在学生的探究活动中要帮助学生形成丰富的想象，防止过早语言化。
（3）强调内在动机。在布鲁纳看来，学生在一般条件下，学习的动机往往很混乱。有些学生谋求好成绩，只是为了得到（或避免）教师和家长的奖励（或惩罚），只是为了与同学竞争。而布鲁纳更重视的是形成学生的内部动机、或把外部动机转化为内部动机。他提倡的发现活动有利于激励学生的好奇心，学生也容易受好奇心的驱使，对探究未知的结果表现出兴趣。布鲁纳认为，与其让学生把同学之间的竞争作为主要动机，还不如让学生向自己的能力提出挑战，所以，他提出要形成学生的能力动机，就是使学生有一种求得才能的内驱力。 （4）强调信息提取。布鲁纳认为，人类记忆的首要问题不是贮存，而是提取。学生在贮存信息的同时，必须能在没有外来帮助的情况下提取信息。提取信息的关键在于如何组织信息，知道信息贮存在哪里和怎样才能提取信息。 布鲁纳对数学学习很感兴趣，他与同事们做了大量的数学学习实验，提出了4个数学学习原理，对我们的数学教学很有启示：
（1）建构原理。建构原理说的是：学生开始学习一个数学概念、原理或法则时，要以最合适的方法建构其代表。对于大多数学生（尤其是儿童）来说，应当构造出自己对某一概念、原理、法则的表示形式，而且从具体形式开始最好。学生对数学概念的理解还依赖于他在构造表示形式时的具体活动。
（2）符号原理。符号原理表明，如果学生掌握了适合于他们智力发展的符号，那么就能在认知上形成早期的结构。符号的采用适合学生的水平就较容易被学生理解。例如函数符号，在低年级可用 □＝2△＋3的形式，初三时可用y＝2x＋3，以后则可用y＝f(x) 的形式。
（3）比较和变式原理。比较和变式原理表明，从概念的具体形式向抽象形式过渡，需要比较和变式，要通过比较和变式来学习数学概念。
（4）关联原理。关联原理指的是，应把各种概念、原理联系起来，在统一的系统中学习。在数学教学中，教师不仅要帮助学生发现数学结构间的差别，而且也要帮助学生发现各种数学结构间的联系，以形成知识体系。
布鲁纳的认知发现学习理论是在研究课堂情境和中学生学习的基础上建立起来的，较为符合学生学习的实际，发现法教学亦已被普遍采用。
认知主义的学习理论
2.3.5 奥苏贝尔的认知同化学习理论
20世纪50年代，许多数学教育工作者认为，在数学教学中普遍采用的讲授法会导致学生的机械学习，而发现学习，探究学习是捉进有意义学习的好方法。因此，许多人否定了讲授法在学校教学中的地位。正是在这样的形势下，美国心理学家奥苏贝尔提出了有意义学习理论。他的理论属于认知心理学范畴，但他不像布鲁纳那样强调发现学习，而是强调有意义的接受学习。因而他的理论又称为认知——有意义接受学习理论。
图2-8 奥苏贝尔
奥苏贝尔认为，学习过程是在原有认知结构基础上，形成新的认知结构的过程；原有的认知结构对于新的学习始终是一个最关键的因素；一切新的学习都是在过去学习的基础上产生的，新的概念、命题等总是通过与学生原有知识相互联
系、相互作用条件下转化为主体的知识结构。奥苏贝尔说：“如果我不得不将教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么。我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。”
如果学生对于同化新知识的观念准备不足，奥苏贝尔主张找一个“先行组织者”，架设“认知桥梁”，为新知识向学生原有认知结构的“输入”找到一个“固着点”，使同化新知识得以顺利进行。
奥苏贝尔教育心理学中最重要的观念之一，是他对意义学习的描述。在他看来，学生的学习，如果要有价值的话，应该尽可能地有意义。为此，他仔细区分了接受学习与发现学习，机械学习与意义学习之间的关系。奥苏贝尔反复强调，认为接受学习必然是机械的，发现学习必然是有意义的，这是毫无根据的。有意义学习过程的实质，就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的（非任意的）和实质性的（非字面的）联系。所谓非人为的联系，就是符号所代表的新知识同原有知识的联系。所谓实质性的联系，是指用不同语言或其他符号表达的同一认知内容的联系。比如学习对数概念，能与指数概念、开方概念、实指数幂的性质等建立联系，就是在建立非人为的联系；而能把符号“logab”，“求以a为底的b的对数就是求a的多少次幂等于b”，“alogb＝b”三者表示的意思同一起来，就是在建立实质性的联系。
奥苏贝尔认为，意义学习有两个先决条件：（1）学生表现出一种意义学习的心向，即表现出一种在新学的内容与自己已有的知识之间建立联系的倾向；（2）学习内容对学生有潜在意义，即能与学生已有的知识结构联系起来。
奥苏贝尔为了说明他的有意义学习理论，把学习从两个维度上进行划分：根据学习的内容，把学习分为机械学习与有意义学习；根据学习的方式，把学习分为接受学习和发现学习。这两个维度之间的关系既彼此独立，又互相联系，它们之间的交叉关系如下表：
奥苏贝尔认为，学校主要应采用有意义接受学习。
2.3.6 建构主义的学习理论
80年代以来，国际数学教育界出现一个热门话题—建构主义
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