2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第13讲 函数和方程及答案

2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第13讲 函数和方程及答案

(方法一)f(x)＝02x.

令g(x)＝－x2＋2x，h(x)＝a(ex－1－e－x＋1)， 因为g(x)＝－(x－1)2＋1≤1， 当且仅当x＝1时取“＝”． 又因为ex－1＋e－x＋1≥2ex－1·e－x＋1＝2，

当且仅当x＝1时取“＝”．

若a＞0，则h(x)＝a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，

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a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2

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要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.

2若a≤0，则f(x)的零点不唯一． (方法二)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1) ＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，

令t＝x－1，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. 因为g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， 所以函数g(t)为偶函数．

因为f(x)有唯一零点，所以g(t)也有唯一零点． 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， 1

所以2a－1＝0，解得a＝.

2

(方法三)f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e－x＋1)， 因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)关于x＝1对称， 1

f(x)有唯一零点f(1)＝0，所以a＝. 2

1．函数y＝f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的实数根，也是y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

2．函数零点的判定的常用方法有：

(1)零点存在定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.

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3．方程f(x)＝g(x)的解，实质上就是研究F(x)＝f(x)－g(x)的零点，可利用函数思想，将其转化为两个函数图象的交点问题．

4．二次方程根的分布问题实质上是函数零点存在的范围问题，因此可借助函数，运用数形结合的思想方法进行处理．在利用二次函数的图象研究根的分布问题时，要注意考察如下四个方面：①开口方向；②方程有根的条件；③对称轴位置；④区间端点函数值的正负．

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