S1和S2表示劲度系数分别为k1和k2的两弹簧，k1＞k2；a、b表示质量分别为ma和mb的两个小物【例28】
体，ma＞mb，将弹簧与物体悬挂起来，如图所示．要求两弹簧的总长度最大，则应使（ ）
A．S1在上，a在上 C．S2在上，a在上
x?x上?x下?【解析】
B．S1在上，b在上 D．S2在上，b在上
(m上?m下)gm下gm?m下m下m?m下m上?m下m上??g(上?)?g(上??)，当m上取最小
k上k下k上k下k上k下k下值，k下取最大值时伸长量x最大，弹簧总长度最大．答案：D.
【例29】 如图所示，物块的质量为M，与甲、乙两弹簧相连接，乙弹簧下端与地面连接，甲、
乙两弹簧质量不计，其劲度系数分别为k1、k2．起初甲弹簧处于自由长度，现用手将
2甲弹簧的A端缓慢上提，使乙弹簧产生的弹力大小变为原来的，求A端上移的距离
3是多少？
【解析】 本题运用胡克定律的增量式?F?k?x较为方便，这里分两种情况讨论：
（1）当弹簧乙仍处于压缩状态时，有：
MgMg11对乙：?F2?Mg，则?x2?；对甲：?F1?Mg，则?x1?，则A端上
3k23k133k?k移的距离为x1??x1??x2?12Mg．
3k1k2（2）当弹簧乙处于拉伸状态时，有：
2MgMg2对乙：?F3?Mg，则?x3?，其恢复原长时的距离?x4?；
3k2k235Mg25对甲：?F5?Mg?Mg?Mg，则?x5?，
3k1335(k1?k2)Mg． 则A端上移的距离为x2??x3??x4??x5?3k1k2
【例30】 如图所示，斜面静止于桌面上，物体m1置于斜面上，通过轻线跨过定滑轮
与m2、m3连接（滑轮的质量和摩擦不计），整个系统处于静止状态，m1＜m2?m3. 现将m3解下，再叠放在m1的上方，系统仍处于静止，比较m1与斜面间的摩擦力F1和斜面与桌面间的摩擦力F2的大小变化情况，下列
叙述正确的是（ ） A. F1一定变小，F2可能变小 B. F1一定变大，F2一定不变 C. F1可能变小，F2一定不变 D. F1可能变大，F2一定不变
【解析】未解下m3前，线上的拉力等于(m2?m3)g，由于m1gsin?一定小于(m2?m3)g，因而可判断出斜面
对m1的摩擦力F1沿斜面向下；解下m3并放在m1的上方后，绳上拉力等于m2g，但由于不知道(m1?m3)gsin?与m2g的大小关系，也就不清楚此时F1的方向，故无法判断F1的变化，可能变小，
也可能变大. 取三物体与斜面作为整体进行分析，可知F2始终为零. 故选项CD正确.
【答案】CD
【例31】 如图所示有黑白两条毛巾交替折叠放在地面上，白毛巾的中间用绳与
墙壁连接着，黑毛巾的中部用手将它拉住，欲将其分离开来，若两条毛巾的质量均为m，毛巾之间及其与地面之间的动摩擦因数为μ，问：将黑毛巾匀速拉出需加多大的水平力？如果有n条白、黑毛巾交替折叠放置着，要将n条黑毛巾一起匀速拉出，要多大的力？
【解析】 黑毛巾有四个面受到摩擦力，平衡时
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F?f1?f2?f3?f4???巾时，同理有：F?mgmgmgmg?mg???2???3???4?(1?2?3?4)?5?mg，有n条白黑毛222221μmg(1?2?3?????4n)， 214n故F?μmg(1?4n)??(4n?1)nμmg
22
知识点睛
知识点2 力的合成与分解 1．力的合成
（1）求几个已知力的合力叫力的合成．力的合成就是找一个力去替代几个
已知的力，而不改变其作用效果．
（2）力的平行四边形定则：如右图所示，以表示两个力的有向线段为邻边
作平行四边形，这两边夹角的对角线大小和方向就表示合力的大小和方向．（只适用于共点力）
下面根据已知两个力夹角?的大小来讨论力的合成的几种情况：
①当??0?时，即F1、F2同向，此时合力最大，F?F1?F2，方向和两个力的方向相同．
②当??180?时，即F1、F2方向相反，此时合力最小，F?F1?F2，方向和F1、F2中较大的那个力相同．
③当??90?时，即F1、F2相互垂直，如图，F?F12?F22，tan??22④当?为任意角时，根据余弦定律，合力F?F1?F2?2F1F2cos?
F1． F2根据以上分析可知，无论两个力的夹角为多少，必然有F1?F2≤F≤F1?F2成立．
（3）力的三角形定则和多边形法则
力的平行四边形定则，也可以用力的矢量三角形表示，如图甲可用图乙的力的三角形法表示，即将待合成的力按原来力的方向“首”、“尾”相接，合力即为起于一个力的“首”，止于另一个力的“尾”的有向线段．
力的多边形法则：若是物体受到的几个力的合力为零，那么这几个力按照力的图示首尾相接，可以组成一个封闭的矢量多边形． （4）计算合力的方法
①图解法：从力的作用点起，依两个分力的作用方向按同一标度作出两个分力F1、F2，并构成一个平行四边形，这个平行四边形的对角线的长度按同样比例表示合力的大小．对角线的方向就是合力的方向，通常可用量角器直接量出合力F与某一个力（如F1）的夹角?，如图所示．
②计算法：从力的作用点按照分力的作用方向画出力的平行四边形，算出对角线所表示的合力的大小． 2．力的分解
（1）力的分解：求一个已知力的分力叫做力的分解．
分解规律：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则，即把已知力作为平形四边形的对
角线，那么，与已知力共面的平行四边形的两条邻边就表示已知力的两个分力．
（2）力的分解方法
根据力F产生的作用效果，先确定两个分力的方向，再根据平行四边形定则用作图法作出两个分力F1和F2的示意图，最后根据相关数学知识计算出两个分力的大小．
实际上，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形．也就是
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说，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力．一个已知力究竟应该怎样分解，这要根据实际情况来决定． （3）力的正交分解方法
正交分解法是把力沿着两个经选定的互相垂直的方向作分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量的运算，它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法，其步骤如下： ①正确选定直角坐标系．
通常选共点力的作用点为坐标原点，坐标轴方向的选择则应根据实际问题来确定，原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即：使向两坐标轴投影分解的力尽可能少．在处理静力学问题时，通常是选用水平方向和竖直方向上的直角坐标，当然在其他方向较为简便时也可选用．
②分别将各个力投影到坐标轴上，分别求出x轴和y轴上各力的投影的合力Fx和Fy：
Fx?F1x?F2x?F3x?? Fy?F1y?F2y?F3y??（式中的F1x和F1y是F1在x轴和y轴上的两个分量，其余类推．） 这样，共点力的合力大小为：F?Fx2?Fy2．
设合力的方向与x轴正方向之间的夹角为?，因为tan??FyFx，
所以，通过查数学用表，可得?数值，即得出合力F的方向．
特别的：若F?0，则可推得Fx?0，Fy?0．这是处理多个力作用下物体平衡问题的常用的好办法．
例题精讲
基础题
【例32】 两个大小确定的共点力F1和F2，若F1和F2夹角逐渐增大，则合力（ ）
A．大小不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先减小后增大
【答案】 C
【例33】 三个大小相等互成120?角的力F1?F2?F3?F，它们合成后合力大小是（ ）
A．0 B．F C．2F D．3F
【答案】 A
【例34】 某物体在三个共点力作用下处于平衡状态，若把其中一个力F1的方向沿顺时针转过90?而保持其大
小不变，其余两个力保持不变，则此时物体所受到的合力大小为（ ） A．F1 B．2F1 C．2F1 D．无法确定
【答案】 B
【例35】 大小分别为7N和5N的两个共点力，同时作用在一个物体上，对于合力大小的估计，下列说法正确
的是（ ）
A．一定不能等于12N B．一定不能大于12N C．一定不能小于12N D．一定大于等于5N且小于等于7N
【答案】 B
【例36】 分解一个力，若已知它的一个分力的大小和另一个分力的方向，以下说法中正确的是（ ）
A．只有惟一一组解 B．一定有两组解 C．可能有无数个解 D．可能有两组解
【答案】 D
【例37】 将一个力F?10N分解为两个分力，已知一个分力的方向与F成30?角，另一个分力的大小为6N，
则在分解中（ ） A．有无数组解 B．有两解 C．有惟一解 D．无解
【答案】 B
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【例38】 在图中，AB、AC两光滑斜面互相垂直．AC与水平面成30?．若把球O的
重力按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为（ ）
33GG G，3G A．， B．2222223G，G G，G C． D．2222【答案】 A
【例39】 如图所示，OA为一粗糙的木板，可绕O在竖直平面内转动，板上放一质量为m的物块，当缓慢使板沿逆时针方向转动，物块始终保持静止，则下列说法中正确的是（ ）
A．物块受到的静摩擦力逐渐增大 B．物块对木板的压力逐渐减小 C．物块受到的合力逐渐增大 D．木板对物块的支持力及静摩擦力的合力不变
【答案】 ABD
【例40】 （2007广东文科基础）如图，水平桌面上的物体A和B通过轻绳相连，在水平外力F的作用下做匀
速直线运动．已知绳中拉力为T. 桌面对两物体的摩擦力分别是fA和fB，则有（ ） A．F?fA?fB?T B．F?fA?fB?T
C．F?fB D．T?fA
【解析】 以A、B整体为研究对象，由于整体做匀速直线运动，故整体受合外力为零，即F?fA?fB.对A物
体，合力为零，有T?fA，故D项正确．
【例41】 用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中. 如图所示．已知绳ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为（ ）
A．C．31mg,mg 2231mg,mg 4213B．mg,mg
2213D．mg,mg
42【解析】 结点受三个力，在这三个力的作用下处于平衡状态，作出矢量三角形后由几何知识可以得到答案．
13mg．答案：A 从矢量三角形中可以明显得到：Fbc?mg，Fac?22
中档题
【例42】 右图给出了六个力F1、F2、F3、F4、F4、F5、F6，它们作用于同一
点O，大小已在图中标出，相邻的两个力之间的夹角均为60?，则这六个力的合力大小为（ ） A．20N B．40N C．60N D．0
【解析】 如下图所示，先作出三条直线上的两两合力：
F14?20N、F36?20N、F25?20N
由于三个合力之间夹角均为60?，则F14和F25的夹角为120?，它
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