解法二：解析法
F2mg?分析力的矢量三角形，根据正弦定理有sin?，得 sin?mgsin?F2?.mgsin?是定值，F2随sin?变化而变化：
sin? 当??90?时，???sin???F2? 当??90?时，???sin???F2? 当??90?时，F2有最小值F2min?mgsin?.
【例77】 如图所示，物体的质量为2kg．两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，
当AB、AC均伸直时，AB、AC的夹角??60?，在物体上另施加一个方向也与水平线成??60?的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围．
【解析】 作出A受力图如图所示，由平衡条件得
?Fy?Fsin??F1sin??mg?0 ①
?Fx?Fcos??F2?F1cos??0 ② 由①②式得
mgF1??F ③
sin?mgcos?F2?Fcos??F1cos??2Fcos?? ④
sin?要使两绳都能绷直，则有 F1?0 ⑤ F2?0 ⑥
由③⑤式得F有最大值Fmax?由④⑥式得F有最小值Fminmg403?N
3sin?mg203??N
32sin?综合得F的取值范围203N?F?403N.
33
【例78】 如图甲，物体A重40N，物体B重20N，B用水平绳OC系住，A与B、A与地面的动摩擦因数相
同．若用32N水平力F1拉A时恰能将A拉出，那么当绳与水平方向夹角??30?时，要用倾角??30?的拉力F2将A拉出，如图乙，则F2的大小至少应为 N．
COFBAF1?EBA乙F2?
甲【解析】 当F1?32N水平拉出A时，F1??mBg??(mAg?mBg)
力与平衡 题库 page 25 of 28
F32??0.4
2mBg?mAg2?20?40在第二种情况下，分别以A、B为研究对象分析受力如图所示，根据平衡条件
得：??FTFNBFNA?FfGBFfF'f?F'NBGAF2对B有：
FTsin??FNB?GB
200.4?
① ② ③ ④ N?16.3N
FTcos???FNB
?B?GA 对A有：FNA?F2sin??FNF2cos???FNB??FNA ①②方程联立：FNB?GB??tan??13?13'?FNB??(GA?FN)B?27.1N ③④方程联立：F2?cos???sin?
【例79】 如图甲所示，一质量为m的物体，静止于动摩擦因数为?的水平地面上，现用
与水平面成?角的力F拉物体，为使物体能沿水平地面做匀加速运动，求F的取值范围.
【解析】 设物体运动的加速度为a，由图乙知
Fcos???N?ma，Fsin??N?mg
要使物体做匀加速运动，应满足a＞0
?mg解得F＞
cos???sin?除此之外，还应有限制性条件，即物体不能离开地面. 由Fsin??N?mg 得N?mg?Fsin? 因为N≥0 所以F≤mg sin?即力F的取值范围为
?mgmg＜F≤
cos???sin?sin?
【例80】 如图所示，一个底面粗糙、质量为m的斜面静止在水平地面上，斜面体斜面
是光滑的，倾角为30?. 现用一端固定的轻绳系一质量也为m的小球，小球静止时轻绳与斜面的夹角也是30?. 试求： （1）当小球静止时绳的拉力大小；
（2）若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍，为了
使整个系统始终保持静止状态，k必须满足什么条件？
【解析】（1）小球受重力mg、斜面的支持力FN、绳的拉力T，由平衡条件得
Tsin30??FNsin30? Tcos30??FNcos30??mg
mg3?mg.
2cos?303（2）以小球和斜面体组成的整体为研究对象，则
由以上两式解得绳的拉力为 T?力与平衡 题库 page 26 of 28
3mg 63FN＝2mg?Tsin60??mg
2f?Tcos60??要使整个系统保持静止状态，必须满足f≤kFN，即k≥【答案】（1）33mg （2）k≥ 393. 9
【例81】 一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙的静摩擦
因数分别为?1、?2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角．
【解析】 当两接触点处的静摩擦力都达到最大时，梯子处于极限平衡状态，此时梯子
DF2与地面所成的夹角最小．现把两接触点处的弹力、摩擦力合成为一个力（全
?2反力），则杆仅受三个力作用，这三个力必共点，如图所示． BE设A、B两处全反力的方向与该处法线方向的夹角分别为?1、?2，则有
tan?1??1 tan?2??2
BCDH?DEDHDE???由几何关系可得tan?? AC2AH2AH2EB?1??1?2111?2? ?cot?1?tan?2 ? 2?122?1221??1?2即梯子与地面所成的最小角为??arctan
2?1F1?1AOGHC?
【例82】 三个半径均为r、质量相等的球放在一个半球形碗内，现把第四个半径也为r、质量也相等的相同
球放在这三个球的正上方，要使四个球能静止，大的半球形碗的半径应满足什么条件?（不考虑各处摩擦）
【解析】 若半球形碗的半径太大，第四球放上去后会使下面三个球互相散开，因此，本题要求碗半径的最大
值，临界情况出现在放上第四个球后，下面三个球之间的弹力恰减为零．把上面的球记为A，下面三球记为B、C、D，则四个球的球心构成一个正四面体，正四面体的边长均为2r，如图所示．设A、B两球球心的连线与竖直方向的夹角为?，则
2?23??2r????3r????设A、B两球作用力为N，对A球有 3Ncos??mg ① 对B球，根据图所示有
Fcos??mg?Ncos? ②
tan??BO??AO?BO?AB?BO?22?23??2r3222?1
O?AO' Fsin??Nsin?0 ③
Nsin?由②③两式消去F得 tan?? ④
mg?Ncos?0?BNmg11将①式代入④式得 tan??tan?? 442于是在临界条件下球形碗的半径
BO?R?BO?r??r?BO?1?cot2??r?7.633r
sin?所以半球形碗的半径必须满足R≤7.633r
【例83】 一根长度为l的杆AB重为G，B端压在粗糙的地面上．A端用一根足够牢的轻绳斜拉在地上，绳与杆的夹角为?，如图所示．在离B端a?l处有一个水平作用力F．问： A?lalF力与平衡 题库 page 27 of 28 B（1）杆B端与地面之间的动摩擦因数至少为多大，才能维持杆静止?
（2）如果B端与地面之间的动摩擦因数为?0，那么在AB上有一点D，在AD之间不论施加上多大
的水平力F，都不会破坏AB的平衡，求D点的位置．
A【解析】 这是一个一般刚体平衡的问题．形成第二问结果的原因是：当F的作用点高于某一高度
时，杆B端受地面的最大静摩擦力f与F力同步增大，因此形成“自锁”，如图． FT??Fy?0T?cos??G?N?Gxl（1）??Fx?0Tsin??f?F ??M?0fNTlsin??alFB?B因为是求最小的动摩擦因数，所以f?N??，可解得
??F(1?a)sin?
aFcos??Gsin?G?0
1?x?x?0ctg?（2）设D点离B点的距离是xl，通过和（1）相同的方程，可解得：F?AT?F'?fBDFNF的表达式分子是个定值，当分母1?x?x?0ctg??0，即
x?1时，F??，即无论多大的力F也不会破坏AB杆的平衡．
1??0ctg?用摩擦角的观念，也可以用图解的方法得到相同的结果．因为D点以上可以作用任意大的力F，如图所示，因此此种情况下F杆的自重G可以忽略不计．这样一来杆就只受三个力：绳的拉力T、水平力F和地面的作用力F?，?就是摩擦角．
(1?x)ltg??xltg??xl?0
ltg?1x??
l?0?ltg?1??0ctg?
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