最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义
第1讲 与有理数有关的概念
考点·方法·破译
1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.
3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析
【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克
【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”
解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】
01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A． －18% B． －8% C． ＋2% D． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为
( )
A． －5吨 B． ＋5吨 C． －3吨 D． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.
如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ 【例２】在－，π，0，0.0333这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
??正整数正有理数???正分数?【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数?； ?0??负整数?负有理数???负份数?.??正整数??整数?0??负整数；其中分数包括有限小数和无限（2）按整数、分数分类，有理数????正分数?分数????负分数?循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－是分数，0.0333是无限循环小数可以化成分数形
式，0是整数，所以都是有理数，故选C．
【变式题组】 01．在7，0，15，－，－301，31.25，－，100，1，－3 001中，负分数为 ，
整数为 ，正整数 .
.02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－，，－，0.1，－
5.32，123, 2.333
【例３】（宁夏）有一列数为－1，，－，，－，，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－. 【变式题组】
01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5
＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 . 02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填. 03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为 . 【例４】（2008年河北张家口）若1＋的相反数是－3，则m的相反数是. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题＝2＝4，则m的相反数－4。 【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( ) A．5 B． C． －5 D． －
02．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a＋b＋＝
03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C 内分
别填人适当的 数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形
A、B、C内的
三个数依次为( )
A． － 1 ,2，0 B． 0，－2，1 C． －2，0，1 D． 2，1，0 【例５】（湖北）a、b为有理数，且a＞0，b＜0，＞a，则、－a,－b的大小顺序是( )
A． b＜－a＜a＜－b B． –a＜b＜a＜－b C． –b＜a＜－a＜b D． –a＜a＜－b＜b
【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的
?a(a?0)
点到原点的距离,即,用式子表示为＝?画一?0(a?0).本题注意数形结合思想，
??a(a?0)?
条数轴 标出a、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A． 【变式题组】
01． 推理①若a＝b，则＝；②若＝，则a＝b；③若a≠b，则≠；④若 ≠，则a≠b，其中正确的个数为（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 02．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，则＋＋
＝ .
03．a、b、c为不等于O的有理数，则＋＋的值可能是. 【例６】（江西课改）已知－4|＋－8|＝0，则的值.
【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即≥0．所以－4|≥0，－8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.
解：因为－4|≥0，－8|≥0，又－4|＋－8|＝0，∴－4|＝0，－8|＝0即a－4＝0，b－8＝0，a＝4，b＝8.故＝＝ 【变式题组】
01．已知＝1，＝2，＝3，且a＞b＞c，求a＋b＋C． 02．（毕节）若－3|＋＋2|＝0，则m＋2n的值为( )
A． －4 B． －1 C． 0 D． 4 03．已知＝8，＝2，且－＝b－a，求a和b的值
【例７】（第18届迎春杯）已知(m＋n)2＋＝m，且|2m－n－2|＝0．求的值． 【解法指导】本例的关键是通过分析(m＋n)2＋的符号，挖掘出m的符号特征,从而把问题转化为(m＋n)2＝0，|2m－n－2|＝0，找到解题途径. 解：∵(m＋n)2≥0，≥O ∴(m＋n)2＋≥0，而(m＋n)2＋＝m
∴ m≥0,∴(m＋n)2＋m＝m，即(m＋n)2＝0
∴m＋n＝O ① 又∵|2m－n－2|＝0 ∴2m－n－2＝0 ② 由①②得m＝，n＝－，∴ ＝－ 【变式题组】
01．已知(a＋b)2＋＋5|＝b＋5且|2a－b–1|＝0，求a－b． 02．（第16届迎春杯）已知y＝－＋＋19|＋－a－96|，如果19＜a＜
96．a≤x≤96,求y的最大值. 演练巩固·反馈提高
01．观察下列有规律的数…根据其规律可知第9个数是( )
A． B． C． D． 02．（芜湖）－6的绝对值是( )
A． 6 B． －6 C． D． －
03．在－,π,8.0.3四个数中，有理数的个数为( )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 04．若一个数的相反数为a＋b，则这个数是( )
A． a－b B． b－a C． –a＋b D． –a－b 05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )
A． 0和6 B． 0和－6 C． 3和－3 D． 0和3 06．若－a不是负数，则a( )
A． 是正数 B． 不是负数 C． 是负数 D． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a＝b,则＝ ②若a＝－b,则＝③若 ＝，则a＝－b ④若＝,则a＝b
A． ①② B． ③④ C． ①④ D． ②③
08．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a、b，－a，的大小关系正确 的是( )
A． ＞a＞－a＞b B． ＞b＞a＞－a C． a＞＞b＞－a D． a＞＞－a＞b
09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是.
10．已知＋2|＋＋2|＝0，则＝ .
11．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，求＋＋＋=
12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a、a＋b也可以表示成0、b、的形式，试求a、b的值.
13．已知＝4，＝5，＝6，且a＞b＞c，求a＋b－c．
14．具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，－1|＋－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.
15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，＝＝＝－当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边＝－＝－＝b－a＝－；②如图3，点A、B都在原点的左边，＝－＝－＝－b－(－a)＝－；③如图4，点A、B在原点的两边，＝－＝－＝－b－（－a）＝－；综上，数轴上A、B两点之间的距离＝－．
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