因为f?x?在1,???上是增函数，
所以f??x??3x?2ax?2?0在区间1,???上横成立，
2??3x2?22即2ax?3x?2,?2a?,即2a?3x?在区间?1,???上横成立，
xx222 ，g??x??3?2?0，?g?x??1,???上单调增函数. xx1所以2a?g?1??1,即a?.
2令g?x??3x?(2) f?x??x?ax?3x.?f??x??3x?2ax?3，
322因为f?x?在x?1?1?处取得极值，所以f???=0，得出a?5. 3?3?1?f??x??3x2?10x?3??3x?1??x?3?,令f??x??0,得x?3,x?，
3? f?x?在?1,3?上为减函数，在?3,5?上增函数，
又f?1???1,f?5??15，函数的最大值?maxf?1?,f?5??15,函数的最小值?f?3???9,
??，a上的值域为??9,15?. 所以，函数f?x?在1?3?x2y231,22.已知椭圆C:2?2?1(a?b?c)的离心率为，点A?在椭圆上． ???ab22??（1）求椭圆C的方程．
（2）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交于两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1、OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．
??x2【答案】(1) 椭圆方程为?y2?1;(2)见解析.
4【解析】
【详解】（I）由题意得：
c3，a2?b2?c2， ?a2又点A(1,133)在椭圆C上，∴2?2?1，解得a?2，b?1，c?2a4b3，
x2∴椭圆C的方程为?y2?1．
4
（II）存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2?y2?5．
证明如下：假设存在符合条件圆，并设此圆的方程为x2?y2?r2(r?0)． 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y?kx?m．
y?kx?m由方程组{x24?y?12得(4k2?1)x2?8kmx?4m2?4?0．
∵直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，
222∴?1?(8km)?4(4k?1)(4m?4)?0，即m2?4k2?1．
?y?kx?m2222由方程组?222得(k?1)x?2kmx?m?r?0，
?x?y?r2222则?2?(2km)?4(k?1)(m?r)?0．
设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则x1?x2?设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2， ∴
的?2km，k2?1，
m2?r2?2kmk·2?km·2?m2m2?r2k2k?1k?122??2222，将m?4k?1代入上式， m?rm?rk2?12(4?r2)k2?1得k1k2?22．
4k?(1?r)4?r21要使得k1k2为定值，则，即r2?5，代入?2验证知符合题意． ?241?r∴当圆的方程为x?y?5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值?当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x??2．
22此时，圆x?y?5与l的交点P1，P2也满足k1k2??221． 41． 4综上，当圆的方程为x?y?5时，
圆与l的交点P1，P2满足直线OP1，OP2的斜率之积为定值?221． 4
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