1.C 由导数的概念、几何意义及导数公式可得(3)(7)正确.
2.A 由质点在时刻t的速度v(t)=s' (t)=6t2 - gt,加速度a(t)=v' (t)=12t - g,得当t=2 s时,a(2)=v' (2)=12×2 - 10=14(m/s2).
3.A ∵y=sin x,∴y' =(sin x)' =cos x.k1=cos 0=1,k2=cos=0,∴k1>k2.
2π
4.y=3x 因为y' =3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线的斜率
k=′,所以所求的切线方程为y=3x.
5. - 3 y' =(ax+1+a)ex,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为 - 2,得y' |x=0=(ax+1+a)ex|x=0=1+a= - 2,所以a= - 3.
6.e 由题意得f ' (x)=exln x+ex·,则f ' (1)=e.
??1
7.(1,1) y' =ex,则曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k切=1,又曲线y=(x>0)上点P处的切线与曲线y=ex??
1
在点(0,1)处的切线垂直,所以曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率为 - 1,设P(a,b)(a,b>0),则曲线y=(x>0)
??
??
11
上点P处的切线的斜率为′= - a - 2= - 1,可得a=1,又P(a,b)在曲线y=上,所以b=1,故P(1,1).
??
1
1.C 因为f ' (x)=x' [(x - a1)(x - a2)…(x - a8)]+[(x - a1)·(x - a2)…(x - a8)]' x=(x - a1)(x - a2)…(x - a8)+[(x - a1)(x - a2)…(x - a8)]' x,所以
f ' (0)=(0 - a1)(0 - a2)…(0 - a8)+0=a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列,所以a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以f ' (0)=84=212.故选C.
2.(1)B 由题意得x轴绕坐标原点O逆时针旋转角θ后第一次与y=ex的图象相切,设切点为(x0,e??0),∵y' =ex,∴
e??0??0
=e??0,∴x0=1,∴tan θ=e,
∴sin θ=ecos θ,故选B.
(2)1 - ln 2 设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2的切点为(x1,ln x1+2),与曲线y=ln(x+1)的切点为(x2,ln(x2+1)).
则切线方程分别为y - ln x1 - 2=(x - x1),y - ln(x2+1)=
??1
??2??2+1
1
1??2+1
(x - x2),化简得y=x+ln x1+1,y=
??1
11
??2+1
x -
+ln(x2+1),
1
依题意,得{
??1
=
1??2+1
,
??2??2+1
ln??1+1= -
解得x1=,从而b=ln x1+1=1 - ln 2.
2+ln(??2+1),
1
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