?x2?1x1?2122?a?2t(1?x?2x1)?t(x?x2)?dx?222214(x2?x1)(4tx2?4atx2?2tx2?8tx1x22222?2tx1?4at?4a?4tx1?t?4atx1)?x?1?a?2t(1?x?21x1)?t(1?x?x2)?dx??22221242(?1?2x2)(28tx2?72tx1x2?10tx222222
?36atx2?6at?12a?12tx1?48tx1?t?48atx1)全部五个积分求后，相加并整理可得
?1(x1,x2)?1108b?96t232x1x2?24tx1?48tx1x2?24tx2?96tx1x2?t232222222222(6)
2 ?32tx2?32tx1?6t[a?2c(x1)?c(x2)]?12[a?2c(x1)?c(x2)]现在企业1选择地址x1使得利润最大化，即max的偏导，可得
?0?x1?1?1(x1,x2)，从而对于?(x1,x2)求关于x1
1??(x1,x2)1?x1?4t29b(x2?x1)(?1?2x1?2x2)?19b[t?4a?8c(x1)?4c(x2)]c'(x1)
(7)
同样对情况(ii)作类似讨论都如同(6)和(7)式一样（这里推导省略）。 为判别最大值，对于
?(x1,x2)求关于x1的二阶偏导，可得(8)式：
1419b89b2?2?1(x1,x2)2?x1?16t9b2[(x1?x2)?]?[t?4a?8c(x1)?4c(x2)]c''(x1)?[c'(x1)](8)
现在来讨论x1和x2的分布情况：
情况(i) 若x1?x2，即两个企业聚集于一处，那么由最优化一阶必要性条件从(7)可得
??(x1,x2)1?x1?0，
[t?4a?4c(x1)]c'(x1)?0 (9)
假设t-4a+4c(x1)≠0，则c?(x1)=0。代入(8)式可得
?2?1(x1,x2)21?x
?x1?x24t29b?19b
[t?4a?4c(x1)]c''(x1)若t-4a+4c(x1)<0，且 c''(x1)?36t24a?4c(x1)?t (10)
13
那么
?2?1(x1,x2)21?x?0
基于最优化二阶充分条件，则x1=x2是使目标函数达到最大的极点，即利润最大化点。
注意到t-4a+4c(x1)<0即t?4c?4a?4(p?bq)，亦即t4?c?p?bq，一般地，单位成本和运费总不能大于价格和总需求，所以假设t-4a+4c(x1)<0 (即4a-4c(x1)-t>0)在实际问题中是有意义的。从(9)和(10)可得
c'(x1)?0，c''(x1)?0 (11) 从(11)式可得，如果成本分布函数是圆环形上的凸函数，那么，依据最优性二阶条件，可得x1是成本函数c(x)的最小点。同样对企业2，也可以作相应的模型推导，获得同样结论。
综上所述，可知当运输费用系数t很小，那么在圆环形分布城市中，企业在成本分布函数最小点集聚；此时，两个企业各自的利润分别达到最大化。
情况(ii) 当x2?12?x1，即两个企业分别等距分布，各占一半区域，从(7)可得
(t?4a?8c(x1)?4c(x2))c'(x1)?0 (12)
若t-4a+8c(x1)-4c(x2)≠0，则c’(x1)=0。再代入(8)式可得
?2?1(x1,x2)21?x??x1?x2?124t29b?19b[t?4a?8c(x1)?4c(x2)]c''(x1)
类似地，一般情况下，成本函数和在整个圆环的运输费用不会大于价格和总需求，不妨假设t-4a+8c(x1)-4c(x2)<0，那么当
c''(x1)?4t2??4a?8c?x1??4c?x2??t??t22c?x1??c?x2??a?2t4时，
??1(x1,x2)21?x?0
?1(x1,x2)对于x1是利润最大化点；由于c(x1)=0又若c’’(x1)>0，那么企业1定位在产品成本分布函数
最小点，可使企业利润达到最大化。
然而，当t?4a?8c?x1??4c?x2??0时可得
c''(x1)?9t24(t?4a?8c(x1)?4c(x2))?0 (13)
即当成本分布函数是圆环形上的凸函数时，
c'(x1)?0，c''(x1)?0
14
表示x1是成本分布函数c(x)的最大点；从而由(13)式可得
?2?1(x1,x2)21?x?0
基于二阶最优性充分条件，则企业1的利润达到最小，不是最优选择。
附表1 制造业厂商的区域分布
行业 全国 数量 食品加工业 食品制造业 饮料制造业 烟草加工业 纺织业 服装及其他纤维制造业 皮毛羽绒及其制品业 木材及竹藤棕草制品业 家具制造业 造纸及纸制品业 印刷业记录媒介复制 文教体育用品制造业 石油加工及炼焦业 化学原料及制品制造业 医药制造业 化学纤维制造业 橡胶制品业 塑料制品业 非金属矿物制品业 黑色金属冶炼及压延加工业 有色金属冶炼及压延加工业 金属制品业 普通机械制造业 专用设备制造业 交通运输设备制造业 电气机械及器材制造业 电子及通信设备制造业 仪器仪表及办公机械制造业 其他制造业
附表2：中国制造业各产业1986、1994和2001年产值排名前4的省份一览表
1986 1994 2001
72740 32539 27922 499 64811 56367 22585 36026 24648 36437 38205 14461 6516 69983 9816 4165 12910 64010 2E+05 13329 11179 96430 91861 48493 58921 55145 27143 15857 42441 数量 38115 12940 14811 384 11304 7093 3970 15293 8650 12108 11946 2287 3464 21580 4274 627 2927 12875 94129 6076 4357 19929 20331 12636 19046 9504 3161 2930 12412 中西部 百分比 52.4 39.8 53.0 77.0 17.4 12.6 17.6 42.4 35.1 33.2 31.3 15.8 53.2 30.8 43.5 15.1 22.7 20.1 55.0 45.6 39.0 20.7 22.1 26.1 32.3 17.2 11.6 18.5 29.2 数量 34625 19599 13111 115 53507 49274 18615 20733 15998 24329 26259 12174 3052 48403 5542 3538 9983 51135 77008 7253 6822 76501 71530 35857 39875 45641 23982 12927 30029 东部 百分比 47.6 60.2 47.0 23.0 82.6 87.4 82.4 57.6 64.9 66.8 68.7 84.2 46.8 69.2 56.5 84.9 77.3 79.9 45.0 54.4 61.0 79.3 77.9 73.9 67.7 82.8 88.4 81.5 70.8 15
产 业 省 份 江苏 四川 广东 山东 山东 四川 浙江 江苏 云南 河南 山东 安徽 江苏 上海 浙江 山东 上海 江苏 广东 辽宁 江苏 上海 浙江 山东 2001 省 份 广东 山东 江苏 浙江 山东 广东 四川 江苏 云南 湖南 山东 河南 江苏 浙江 山东 广东 1986 份 额(%) 省 份 2001 份 额(%) 19.07 11.56 9.17 8.03 47.82 13.12 12.54 11.06 9.30 46.01 18.91 7.10 6.02 5.11 37.15 26.36 19.79 12.21 10.37 68.73 22.25 19.42 18.98 10.10 70.75 24.59 24.31 10.69 10.21 69.80 15.85 15.08 12.17 8.15 51.26 27.53 9.43 9.16 8.49 54.62
16
份 额(%) 10.01 9.28 7.28 7.15 33.72 9.63 9.44 9.12 7.19 35.37 10.59 9.97 8.03 7.53 36.13 17.16 11.47 9.40 9.04 47.07 食品制造业 4省市产业集中度 饮料制造业 4省市产业集中度 烟草加工业 4省市产业集中度 纺织业 4省市产业集中度 服装及其他纤维制品 13.62 山东 12.07 广东 8.29 江苏 5.65 河南 39.63 13.94 四川 13.42 浙江 7.53 广东 7.22 山东 42.11 33.89 云南 8.27 湖南 5.29 湖北 5.18 四川 52.63 22.94 江苏 12.50 浙江 9.79 山东 8.09 广东 53.33 11.58 内蒙古 11.52 7.51 7.22 37.83 10.37 8.72 7.64 7.63 34.35 20.12 7.06 6.67 广东 江苏 浙江 广东 浙江 江苏 福建 广东 江苏 福建 26.92 广东 16.33 江苏 11.79 浙江 10.33 上海 65.38 制造业 4省市产业集中度 皮革、毛皮、羽绒 23.14 浙江 12.82 广东 10.42 福建 9.50 江苏 55.88 及其制品业 4省市产业集中度 木材加工及竹、藤、 棕、草制品业 4省市产业集中度 家具制造业 4省市产业集中度
黑龙江 上海 吉林 福建 广东 江苏 山东 湖北 12.16 广东 8.98 江苏 8.58 浙江 7.79 上海 37.51 5.29 黑龙江 39.14 10.91 9.33 8.54 6.22 34.99 广东 山东 江苏 北京 19.77 广东 13.25 浙江 7.09 山东 6.84 江苏 46.95
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