[精品]函数的单调性-学生版

1. 函数单调性的定义及利用定义法证明函数的单调性； 学习目标 2. 单调性和奇偶性之间的关系； 3. 利用已知函数单调性求函数中的参数范围问题。 教学内容 学习重点 1． 单调性的证明； 2． 复合函数、函数奇偶性与单调性之间的联系。 知识梳理 1.函数单调性的定义 对于函数f(x)的定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，⑴若当x1f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数，对应的这个区间叫做函数的递减区间。 注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求； ②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“?”连接；如y?1的单调递减区间时x???，0?和?0，???而不能写成???，0???0，???。 2.单调性证明四部曲 ①任取x1,x2属于定义域，且令x1

奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。 5.单调性的其它等价形式 ①对于任意的a?0，都有f(x?a)?f(x)，表示f(x)单调递增； 对于任意的a?0，都有f(x?a)?f(x)，表示f(x)单调递减. ②对于任意的x1?x2，都有f(x1)?f(x2)?0，表示f(x)单调递增； x1?x2 对于任意的x1?x2，都有f(x1)?f(x2)?0，表示f(x)单调递减. x1?x2 ③若y?f?x?是奇函数，且对定义域内的任意x,y（x?y?0）都有 f?x??f?y??0恒成立，则y?f?x?在定义域内递增； x?yf?x??f?y??0恒成立，则y?f?x?在定义域内递减. x?y 例题精讲与练习 一、单调性的概念及简单基本函数的单调性 【例1】设f(x)是定义在R上的函数． ①若存在x1,x2?R，当x1?x2时、有f(x1)?f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增； ②若存在x1,x2?R，当x1?x2时，有f(x1)?f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能单调递 减； ③若存在x2?0，对于任意x1?R，都有f(x1)?f(x1?x2)成立，则函数f(x)在R上 单调递增； ④任意x1,x2?R，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递减． 以上命题正确的序号是（ ） （A）①③ （B）②③ （C）②④ （D）② 【难度】★★ 2

【例2】判断命题： （1）已知f(x),g(x)均为R上的单调递增函数，则f(x)?g(x)是R上单调递增函数； （2）已知f(x)的定义域为R，f(x)?f(x?1)，f(x)为R上的增函数。 （3）已知f(x)的定义域为R，f(x)在?0,???上单调递增，则f(x)在R上单调递增。 （4）偶函数一定不是单调函数。 【难度】★★ 【例3】定义在R上的函数f(x)的图像过点M（－6，2）和N（2，－6），且对任意正实数k，有f(x+k)< f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(－4,4)时，实数t的值为 . 【难度】★★ 【例4】写出下列函数对应的单调区间 （1）f?x??2x?1?2?x的递增区间是__________，递减区间是__________； （2）f(x)?3?2x?x2的单调递增区间 ； x2（3）y?的单调递增区间 x?1 （4）f(x)?x?【难度】★★ 3

1的单调递增区间 . x

【例5】已知函数f(x)?x?a,(a?0)，g(x)?x2?2ax?1,(x?2)，且f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等，则函数f(x)?g(x)的单调递增区间 【难度】★★ 2x2?x?2【例6】求f?x??的单调递增区间 2x?1【难度】★★ 【例7】已知f(x)是定义在(0,??)上的增函数，f(x)?0且f(3)?1，试判断函数1F(x)?f(x)?（x?0）的单调性. f(x)【难度】★★ 4