课时作业20 函数的单调性
时间：45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1．下列说法中正确的有( A )
①若x1，x2∈I，当x1 ③函数y＝－在定义域上是增函数； 2 x1 ④函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． xA．0个 C．2个 B．1个 D．3个 2 解析：函数单调性的定义中的x1，x2是任意的，强调的是任意，①不对；②y＝x，当x≥012 时是增函数，当x<0时是减函数，从而y＝x在其整个定义域上不具有单调性；③y＝－在x1 整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f(－3)>f(5)；④y＝的单调递减区间不是(－ x∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法． 3 2．若函数f(x)＝－，且x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x1 x小关系为( D ) A．f(x1) B．f(x1)>f(x2) D．不确定 3 解析：f(x)＝－在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，虽然x1 x区间不确定，因此f(x1)与f(x2)的大小不确定． 3．函数y＝5－4x－x的递增区间是( B ) A．(－∞，－2) C．[－2,1] 22 2 B．[－5，－2] D．[－5,1] 2 2 解析：由5－4x－x≥0，得函数的定义域为{x|－5≤x≤1}．∵y＝5－4x－x＝－(x＋4x＋4)＋9＝－(x＋2)＋9，对称轴方程为x＝－2，抛物线开口向下，∴函数的递增区间为[－5，－2]．故选B． 4．如果函数f(x)＝ax＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( D ) 2 ?1?A．?－，＋∞? ?4??1?C．?－，0? ?4? ?1?B．?－，＋∞? ?4??1?D．?－，0? ?4? 解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3，符合题意； 当a>0时，f(x)图象的开口向上，不符合题意； 11 当a<0时，由题意可得－≥4，解得a≥－. a41 综上可知：－≤a≤0. 4 5．若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是( D ) A．f(x)>f(0) B．f(x)>f(0) C．f(3a＋1) 解析：∵a＋1－2a＝(a－1)≥0，∴a＋1≥2A． 当a＝1时，f(a＋1)＝f(2a)； 当a≠1时，f(a＋1)>f(2a)．故选D． 6．已知函数y＝ax＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是( B ) 222 2 2 2 22 解析：①当a＝0时，y＝2ax＋b的图象可能是A； ②当a>0时，－≥0?b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是C； 2a③当a<0时，－≥0?b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D． 2a二、填空题 7．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞， －1)是单调函数，则a的取值范围是(－∞，1]． 解析：因为函数f(x)在(－∞， －a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1. 3??8．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2) 2??解析：∵f(x)是定义在R上的增函数， 又∵f(x－2) ∴x－2<1－x，∴x<， 2 bb3??即x的取值范围是?－∞，?. 2?? 9．已知函数f(x)＝－2x＋mx＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m的取值范围是(－∞，4]∪[16，＋∞)． 解析：二次函数f(x)的图象的对称轴是直线x＝. 4 因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，即?(1,4)，所以≤1或≥4，即m≤4 444或m≥16. 三、解答题 10．画出下列函数的图象，并写出它们的值域和单调区间． (1)y＝|x＋1|； (2)y＝(x＋3)|x－1|. ??－x－1，x≤－1， 解：(1)∵y＝|x＋1|，∴y＝? ?x＋1，x>－1.? 2 mmmm 其图象如下图所示： 由图象可得函数的值域为[0，＋∞)．(－∞，－1]为函数的单调递减区间；[－1，＋∞)为函数的单调递增区间． (2)f(x)＝? ??－ ?? x＋3x＋3 2 x－1，x≥1，x－1，x<1， ??x＋1－4，x≥1， 即f(x)＝?2 ??－x＋1＋4，x<1. 图象如图所示． 结合图象可知，f(x)在(－∞，－1)上是单调增函数，在[－1,1]上是单调减函数，在[1， ＋∞)上是单调增函数．函数的值域是R. 11．用定义判断函数f(x)＝解：∵函数f(x)＝且x1 ax＋11 (a≠)在(－2，＋∞)上的单调性． x＋22 ax＋1ax＋2－2a＋11－2a＝＝a＋，任取x1，x2∈(－2，＋∞)，x＋2x＋2x＋2 ?1－2a?－?a＋1－2a? 则f(x1)－f(x2)＝?a＋??? ?x1＋2??x2＋2? ＝ 1－2a1－2a－＝x1＋2x2＋2 1－2ax1＋2 x2－x1 . x2＋2 ∵－2 ∴x2－x1>0，(x1＋2)(x2＋2)>0， 1 ∴当1－2a>0，即a<时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)是减函数； 21 当1－2a<0，即a>时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 211 ∴在(－2，＋∞)上，当a<时，f(x)是减函数，a>时，f(x)是增函数． 22 ——能力提升类—— 12．函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋4)的递增区间是( C ) A．(2,7) C．(－6，－1) B．(－2,3) D．(1,6) 解析：函数y＝f(x＋4)是函数f(x)向左平移4个单位得到的． ∵函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，∴y＝f(x＋4)的增区间为(－2,3)向左平移4个单位，即增区间为(－6，－1)．故选C． 13．若f(x)＝－x＋2ax与g(x)＝( D ) A．(－1,0)∪(0,1) C．(0,1) 解析：f(x)＝－x＋2ax＝－(x－a)＋a， ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴a≤1. ∵g(x)＝ 2 2 2 2 ax＋1 在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是 B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1] ax＋1 在区间[1,2]上为减函数， ∴a>0，∴0 ??x＋2ax＋3，x≤1， 14．若函数f(x)＝? ??ax＋1，x>1 2 是减函数，则实数a的取值范围为[－3，－ 1]． －a≥1，?? 解析：由题意可得?a<0， ??12＋2a×1＋3≥a×1＋1， 解得－3≤a≤－1，则实数a的取值范围是[－3，－1]． 15．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f??＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时， ?x1??x2? f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0. 故f(1)＝0. (2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1， 由于当x>1时，f(x)<0. 所以f??<0，即f(x1)－f(x2)<0. x因此f(x1) 故函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． x1x2 ?x1??2? ?x1??9?(3)由f??＝f(x1)－f(x2)得f??＝f(9)－f(3)． x3 ?2? ?? 而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. 由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， 且f(|x|)<－2＝f(9)， 所以|x|>9，解得x>9或x<－9. ∴f(|x|)<－2的解集为(－∞，－9)∪(9，＋∞)．
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