初二数学同步辅导教材（第3讲）(5)

初二数学同步辅导教材（第3讲）

【教学进度】 §8.2 §8.3 【教学内容】 1．运用公式法 2．分组分解法 【重点、难点剖析】 一、运用公式法

1．常用的公式如下：

平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)

完全平方公式a2?2ab+b2=(a?b)2

2．运用公式分解因式 （1）要注意公式的特点

平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 特点是：公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反，每一项都可以化成某个数或某式的平方的形式，左边分解的结果：这两个数或两个式子的和与它们的差的积，相当于分解成两个一次二项式的积。

运用a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式已在上讲中我们已讲了例题，做了练习。

（2）平方公式：a2?2ab+b2=(a?b)2 特点是：左边相当于一个二次三项式，首末两项是两个数或某个式子的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两项两个数或两个式子的积的2倍，符号正负均可，公式右边是某两个数或某两个式子的和或差的平方，完全平方公式分解之后，括号右上方的指数“2”，不要忘记，要特另注意。

（3）运用公式法分解因式，对一些计算可以起到简化的作用，例如：4282-3282=(428+328)(428-328)=756×100=75600 (4) 无法考虑使用哪一个公式，在此之前应先考虑是否可提取公式，因为它能使剩下的多项式因式简化，另外要检查分解后的多项式因式能否再分解。

二、分组分解法

1．对于一个含有四项或更多项的多项式进行分解因式，一般采用分组分解法来进行。 2．分组原则

（1）分组后能提公因式；（2）分组后能运用公式；

例如：分解因式x2-xz+xy-yz，把前两项作为一组，后两项作为一组，当组内公因式提出后，同时组间产生了新的公因式，从而达到分解因式的目的，x2-xz+xy-yz=x(x-z)+y(x-z)=(x-z)(x+y)

分组分解法分组并不是唯一的，对于x2-xz+xy-yz，可以把第一、三两项作为一组，也可以把第二、四两项作为一组，同样可以达到因式分解目的：x2-xz+xy-yz=(x2+xy)+(-xz-yz)=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z)

例1．分解因式：

（1）m4-1 (2) a2-a+

1 (3) (x2+4x)2+8(x2+4x)+16 (4) x6-y6 4分析：对（1）、（2）、（3）明显可直接运用平方差公式或完全平方公式；对（4）可将x6, y6分别写为(x3)2和(y3)2 解（1）m4-1=(m2-1)(m2+1)=(m+1)(m-1)(m2+1) (2) a2-a+

14=a2-2.a.

12112+()?(a?) 222 (3) 1+6(x+y)+9(x+y)2=12+2×3(x+y)×1+[3(x+y)]2=(1+3x+3y)2

(4) x6-y6=(x3)2-(y3)2=(x3+y3)(x3-y3)=(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2)

点评：1．分解因式一定要彻底，即进行到每个多项式都不能再分解为止。如(4)如果分解因式m4-1=(m2-1)(m2+1)就叫做分解因式不彻底。

2．立方和(差)公式：a3?b?(a?b)(a?ab?b),在分解因式的时候也经常用到，熟悉并掌握是有好处的。如(4)中就用到这个公式，以使分解因式达到彻底。

例2．分解因式

（1）xn+1-6xn+9xn-1 (2) x6(x+y-z)+y6(z-x-y) 分析：提取公因式后再运用公式 解（1）原式=xn-1(x2-6x+9)=xn-1(x-3)2 （2）原式=(x+y-z)(x6-y6) =(x+y-z)[(x3)2-(y3)2] =(x+y-z)(x3+y3)(x3-y3)

=(x+y-z)(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2) 例3．分解因式

（1）x3(x-2y)+y3(2x-y) (2) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24

322

分析：本题二个小题从原形式来既不能提取公因式入手来分解因式，又不能直接应用公式进行因式分解，为此先展开变形后运用公式。

解（1）原式=x4-2yx3-2xy3-y4 =(x4-y4)-(2x3y-2xy3)

=(x2+y2)(x2-y2)-2xy(x2-y2) =(x2-y2)(x2+y2-2xy) =(x+y)(x-y)(x-y)2 =(x+y)(x-y)3

(2) 原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-24 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)-24 设x2+5x+5=y

则原式=(y-1)(y+1)-24 =y2-25

=(y+5)(y-5)

=(x2+5x+10)(x2+5x) =x(x+5)(x2+5x+10)

(2)展开时考虑到两个二次三项式中二次项与一次项分别相等，这里引入辅助字母y=x2+5x+5，而x2+5x+5是x2+5x+4与x2+5x+6的平均值，所以这种换元称为均值换元。 例4．把mx+nx+my+ny因式分解

分析：多项式共有四项，可按公因式分成两组mx与nx , my与ny各一组。 解：原式=(mx+nx)+(my+ny) =x(m+n)+y(m+n) =(m+n)(x+y)

点评：分组分解法的关键是适当、合理地分组，本题按公因式分组是一种常用的分组方法。 例5．把16x2-9y2-32x+16因式分解

分析：先把一、三、四项分在一组，利用完全平方公式分解，再与第二项运用平方差公式分解。 解：原式=(16x2-32x+16)-9y2 =(4x-4)2-(3y)2

=(4x-4+3y)(4x-4-3y)

按能否使用公式分组是分组分解法中也是一种常用的方法 例6．分解因式 a2-6ab+9b2-4a+12b

分析：将所有二次项作为一组，将所有一次项作为一组，第一组是一个完全平方，第二组有公因式 解：原式=(a2-6ab+9b2)-(4a-12b) =(a-3b)2-4(a-3b) =(a-3b)(a-3b-4) 例7．分解因式

（1）20y3+6ax2-8axy-15xy2 (2) a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)

(1) 式中y为3次，x为2次，a为一次，可依最低的a为主元重新排列。 (2) 式中a、b、c的字母次数相同，可选一个字母为主来排列。 解（1）原式=6ax2-8axy+20y3-15xy2 =2ax(3x-4y)-5y2(4y-3x) =(3x-4y)(2ax+5y2)

（2）原式=(b-c)a3-(b3-c3)a+(b3c-bc3)

=(b-c)a3-(b-c)(b2+bc+c2)a+bc(b2-c2) =(b-c)[a3-(b2+bc+c2)a+bc(b+c)] =(b-c)[(c-a)b2+(c-a)bc-a(c2-a2)] =(b-c)(c-a)[b2+bc-a(c+a)] =(b-c)(c-a)(b2+bc-ac-a2) =(b-c)(c-a)[(b2-a2)+c(b-a)] =(b-c)(c-a)(b-a)(b+a+c) 例8．分解因式

(1) x4+4 (2) x3-9x+8

分析：(1)只有两项，这两项是平方和(x2)2+22的形式，而公式中没有平方两项和的公式，只有平方差公式、完全平方公式、立方和(差)公式，要使用公式必须添一中项2?2x,随即将此项减去即可。

（2）本题是三次三项式，显然不能直接进行因式分解，可将8折成-1+9，即可运用公式了。

2

解（1）原式=x+4x+4-4x =(x4+4x2+4)-4x2 =(x2+2)2-(2x)2

=(x2+2x+2)(x2-2x+2) (2)原式=(x3-1)+(-9x+9)

=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x+1-9) =(x-1)(x2+x-8)

点评：本例是先添(拆)项，后分组 【巩固练习】 一、选择题

1．将x2(x-y)2-y2(y-x)2因式分解的结果是（ ）

(A) (x-y)2(x2+y2) (B) (x-y)2(x2-y2) (C) (x-y)2(x-y)(x+y) (D) (x-y)3(x+y) 2．下列多项式中能运用公式法因式分解的是（ ） (A) –a3-b3 (B) a2-ab+b2 (C) a2+b2 (D) –a-b

3．用分组分解法把多项式ab-c+b-ac分解因式，分组的方法有（ ） (A) 4种 （B）3种 （C）2种 （D）1种

4．用分组分解法分解多项式a2-b2-c2+2bc时，分组正确的是( )

(A) (a2-c2)+(2bc-b2) (B) (a2-b2-c2)+2bc (C) (a2-b2)-(c2-2bc) (D) a2+(2bc-b2-c2） 5．已知多项式2x3-x2-13x+m有一个因式是2x+1，则m的值是( ) （A）0 （B）6 （C）-1 （D）-6

6．下列多项式按下面的分组不能分解的是（ ） （A）(2ax-10ay)+(5by-bx) (B) (5by-10ay)+(2ax-bx) (C) (x2-y2)+(ax+ay) (D) (x2+ax)-(y2-ay) 二、填空题

7．利用公式填空

（1）

422

12m?2mn?( )2=( )2 4 (2) 多项式x4-y4, x4+2x2y2+y4, x3y+xy3, x6+y6的公因式是———— （3）9x2+( )+16y2=( )2

(4) 将-m4+m2n2因式分解的结果是___________

(5) 分解因式8x3-12x2y+6xy2-y3适当分组的方法是_________

8．在下列多项式a2-4b2-a+2b, a2b2-4ab+4-c2, 4a2-9b2+24bc-16c2, a2-4b2+4b-1, 16a2-16b2+8a+1中用分组分解法时，能够分成三项一组和一项一组的多项式有_____个。

三、解答题

9．把x3y-xy3分解因式

10．把16(x+y)2-24(x+y)+9分解因式 11．把(x2+y2)2-4x2y2分解因式 12．x6n+2+2x3n+2+x2

13．9(a+1)2(a-1)2-6(a2-1)(b2-1)+(b+1)2(b-1)2

14．

1?2a3 415．把16x2-8x-y2+2y分解因式 16．把x3+2x2-4x-8因式分解 17．把下列各式分解因式

（1）x2-y2-z2-2yz (2) a3+a2+b3+b2+2ab (3) 16-x2n-100y2+20xny (4) ab(c2-d2)-cd(a2-b2) (5) x3-x2-x-y3+y2+y (6) 4x4+1 18．使多项式2x3-x2-2x+1的值等于0的x值为_______ 19．已知x+y=1,求x3+3xy+y3的值

【参考答案】 一、1．D；2．A； 3．C； 4．D； 5．D；6．D

二、7．（1）2n、

1m?2n （2）(x2+y2)2 (3) (3x+4y)2 2 (4) –m2(m+n)(m-n) (5) (8x3-y3)-(12x2y-6xy2) 8．3 三、解答题

9．xy(x+y)(x-y) 10．(4x+4y-3)2 11．(x-y)2(x+y)2 12．x2(xn+1)2(x2n-xn+1)2 13．(3a2-b2-2)2 14．

1(1?2a)(1?2a?4a2) 15．(4x-y)(4x+y-2) 16．(x+2)2(x-2) 417．(1) (x+y+z)(x-y-z); (2) (a+b)(a2-ab+b2+a+b) (3) (4+xn-10y)(4-xn+10y) (4) (ac+bd)(bc-ad) (5) (x-y)(x2+xy+y2-x-y-1) (6) (2x2+2x+1)(2x2-2x+1)

18．

1, 1, -1 提示：将2x3-x2-2x+1因式分解 219． 1 提示：将x3+3xy+y2因式分解，再将已知条件中代入