抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=连接BF，CF， 则BF=BN=
17a）的距离，设F（1，，
451717-3=，CF=CH=，
4442?5??22?(2?1)?(a?3)?????4?由题意可列：?， 2?17??22(3?1)?a?????4??解得，a=∴F（1，
15， 415）． 4【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.
（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离. 【答案】（1）y＝
610？若存在，求出点P的坐512
x﹣4x；（2）四边形MNGF周长最小值为122；（3）存在点P，P坐标为（6，﹣6）；2（4）抛物线平移的距离为3个单位长度.
【分析】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6.由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标.由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式；（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'.易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标，即求得答案；（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积.又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PQ平行y轴交直线OD于点Q，把△ODP拆分为△OPQ与△DPQ的和或差来计算，故存在等量关系.设点P坐标为t，用t表示PQ的长即可列方程.求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件；（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，-6）.易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值. 【详解】（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2 ∴A（2，0） ∵OA：AD＝1：3 ∴AD＝3OA＝6 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD⊥AB ∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E
?4a?2b??6 ∴?64a?8b?0?
1??a?解得：?2
??b??4∴抛物线的解析式为y＝
12
x﹣4x 2（2）如图1，作点M关于x轴的对称点M'，作点N关于y轴的对称点N'，连接FM'、GN'、M'N' ∵y＝
121x﹣4x＝（x﹣4）2﹣8 22∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6） ∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称 ∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6） ∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90° ∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4 ∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上 ∴M'（6，4），FM＝FM' ∵N为CD中点 ∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上 ∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'
∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小 ∴C四边形MNGF＝MN+M'N'=
?6?4????4?6?22??6?4???4?6?22?22?102?122 ∴四边形MNGF周长最小值为122.
（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为过点P作PQ∥y轴交直线OD于点Q ∵D（2，﹣6）
610. 5∴OD＝22?62?210，直线OD解析式为y＝﹣3x 设点P坐标为（t，
12
t﹣4t）（0＜t＜8），则点Q（t，﹣3t） 2①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧
∴PQ＝yQ﹣yP＝﹣3t﹣（∴S△ODP＝S△OPQ+S△DPQ＝
121t﹣4t）＝﹣t2+t 2211111PQ?xP+PQ?（xD﹣xP）＝PQ（xP+xD﹣xP）＝PQ?xD＝PQ＝﹣t2+t 22222610， 5∵△ODP中OD边上的高h＝∴S△ODP＝
1OD?h 2∴﹣
121610t+t＝×210× 225
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧
∴PQ＝yP﹣yQ＝
121t﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t 2211111PQ?xP﹣PQ?（xP﹣xD）＝PQ（xP﹣xP+xD）＝PQ?xD＝PQ＝t2﹣t 22222∴S△ODP＝S△OPQ﹣S△DPQ＝
∴
121610t﹣t＝×210× 225解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6 ∴P（6，﹣6）
综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为610. 5（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L ∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4 ∴K（m，0），L（2+m，-6） 连接AC，交KL于点H
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