（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．
D D A A
M
B E C
图13
25．解：（1）取AB中点H，联结MH，
B
备用图
C
1QM为DE的中点，?MH∥BE，MH?(BE?AD)． ········ （1分）
2又QAB?BE，?MH?AB． ····················· （1分）
11··········· （2分）（1分） ?S△ABM?ABgMH，得y?x?2(x?0)；
22（2）由已知得DE?(x?4)2?22． ·················· （1分）
Q以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切， 1111······· （2分） ?MH?AB?DE，即(x?4)??2?(4?x)2?22?．
??222244解得x?，即线段BE的长为； ··················· （1分）
33（3）由已知，以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，
又易证得?DAM??EBM． ······················ （1分） 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①?ADN??BEM；②?ADB??BME． ①当?ADN??BEM时，QAD∥BE，??ADN??DBE．??DBE??BEM．
··············· （2分） ?DB?DE，易得BE?2AD．得BE?8；
②当?ADB??BME时，QAD∥BE，??ADB??DBE． ??DBE??BME．又?BED??MEB，?△BED∽△MEB．
?DEBE1222?(x?4)2?22?(x?4)2． ，即BE?EMgDE，得x2??2BEEM解得x1?2，x2??10（舍去）．即线段BE的长为2． ··········· （2分） 综上所述，所求线段BE的长为8或2．
2009年上海市初中毕业统一学业考试
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知?ABC?90°，AB?2，BC?3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线
AB上，且满足
PQAD（如图8所示）． ?PCAB（1）当AD?2，且点Q与点B重合时（如图9所示），求线段PC的长； （2）在图8中，联结AP．当AD?为x，
3，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离2S△APQS△PBC?y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关
于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图10所示），求?QPC的大小．
D A A D D A
P P
P
Q
C C B B C B（ Q）
图8 图9 图10
Q
（2009年上海25题解析） 解：（1）AD=2，且Q点与B点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA，
。
因为∠A=90 PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2, （2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H，h，
则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2
2S2=3*h/2 因为两S1/S2=y，消去H,h,得：
Y=-(1/4)*x+(1/2),
定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABD
QD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得： 直角三角形AQD中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2 直角三角形QBC中：3^2+x^2=(5t)^2
整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0 得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数: Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0，7/8] (3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，
则：B，Q′，P，C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：
PQ′/PC=AD/AB,
。
又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90
A
D P A
P
D
A
P D
Q B
图8
C
B（ Q）
C
图9
B Q
图10
C
2010年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. （1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长； （2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.
图9 图10(备用) 图11(备用)
2011年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
2011年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥
AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sin?EMP?12．
13（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求
AP的长．
图1 图2 备用图
25. (本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)
12CM=26。 13 (2) 在Rt△AEP與Rt△ABC中，∵ EAP=BAC，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC，
3EP30EPBC ∴ ，即，∴ EP=x， ??4x40APAC [解] (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，CP=24，又sinEMP= 又sinEMP=
1213tgEMP=
12EP=5MP3x1245=，∴ MP=x=PN， 5MP16 BN=ABAPPN=50x5x=501621x (0 EM13EM1313?，EM=x=EN， ?，即316EP12x124 又AM=APMP=x511x=x， 1616 由題設△AME ~ △ENB，∴ AMME，?ENNB1113xx16=16，解得x=22=AP。 1321x50?x1616 當E在線段BC上時，由題設△AME ~ △ENB，∴ AEM=EBN。 由外角定理，AEC=EABEBN=EABAEM=EMP， ∴ Rt△ACE ~ Rt△EPM， 3x40ACEP504?，即，CE=…。 ?5CE3CEPMx165BEBABE50，即=，BE=(50z)， ?350?z30PBBC 設AP=z，∴ PB=50z， 由Rt△BEP ~ Rt△BAC， ∴CE=BCBE=30 5(50z)…。 3 由，，解 50=3035(50z)，得z=42=AP。 3
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