m?0.01kg的子弹，沿水平方向以速度v?200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为k?25N/m。求子弹打入木块后它们的共同速度。
解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木块的速度，碰撞过程中子弹和木块沿斜面方向动量守恒，可得：
11Mv12?kx2?Mgxsin? ?v1?0.83m/s (碰撞前木块的速度) 22再由沿斜面方向动量守恒定律，可得： Mv1?mvcos??（m?M）v? ?v???0.89m/s。
4-11． 水平路面上有一质量m1?5kg的无动力小车以匀速率v0?2m/s运动。小车由不可伸长的轻绳与另一质量为m2?25kg的车厢连接，车厢前端有一质量为m3?20kg的物体，物体与车厢间摩擦系数为??0.2。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：
(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时， 物体相对车厢的位移；
(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间。 (车与路面间摩擦不计，取g =10m/s2) 解：（1）由三者碰撞，动量守恒，可得：
m1v0?（m1?m2?m3）v? ?v??0.2ms，
再将m1与m2看成一个系统，由动量守恒有：
m1v0?(m1?m2)v v?对m3，由功能原理有：
m15?21v0??ms，
m1?m25?253?m3gs?(m1?m2)v2?（m1?m2?m3）v?2
11(m1?m2)v2?（m1?m2?m3）v?12?m ； s?2?m3g60v?0.2??0.1s。 （2）由m3v??μm3gt，有：t?μg0.2?104-12．一质量为M千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为k。一质量为m的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了L。(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为s，求子弹所受的平均阻力。
解：分析，碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后机械能守恒条件。
1212（1）相碰后，压缩前：mv0?（m?M）v?，
压缩了L时，有：（m?M）v??计算得到：v0?12212kL， 2Lk（m?M）， mmv0Lv'??（km?M）；
m?Mm?M（2）设子弹射入木快所受的阻力为f，阻力做功使子弹动能减小，木块动能增
加。
121MkL2212fs?mv0?mv?-Mv??
2222mMkL2∴f?
2ms
4-13．质量为M、长为l的船浮在静止的水面上，船上有一质量为m的人，开始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度u从船尾走到船头，当人走到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即f??kv。求在整个过程中船的位移
?x。
分析：将题中过程分三段讨论。
（1）设船相对于静水的速度为v(t)，而人以相对于船的速度为u，则人相对于静水的速度为u?v(t)，开始时人和船作为一个系统动量之和为零。由于水对船有阻力，当人从船尾走到船头时，系统动量之和等于阻力对船的冲量，有：I1?Mv(t)?m[u?v(t)]，此时，v(t)方向u方向相反，船有与人行进方向相反的位移x1；
（2）当人走到船头突然停下来，人和船在停下来前后动量守恒，有：
Mv(t)?m[u?v(t)]?(M?m)v'，v'为人停下来时船和人具有的共同速度，v'方向应于原u方向相同；
（3）人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来，表明最后人和船作为一个系统动量之和又为零，则这个过程水阻力对船的冲量耗散了系统的动量，有：
?I2?(M?m)v'，船有与人行进方向相同的位移x2。
?t综上，系统在（1）和（3）两过程中动量的变化相同，水的阻力在（1）和（3）两过程中给系统的冲量也是相同的。 解：∵I1??I2，利用I??0?Fdt，而：f??kv，
有：
?t10(?kv)dt???(?kv')dt，得：?vdt??v'dt?0，
000t2t1t2即：?x?x1?x2?0 。
4-14．以初速度0将质量为m的质点以倾角?从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻： （1）作用在质点上的力矩M；
??（2）质点的角动量L。
yv0v解：（1）任一时刻质点的位矢和所受之力分别为：
??12?r?v0cos??ti?(v0sin??t?gt)j。
2??F??mgj
????M?r?F??mgv0cos?tk
???t?mgv0?2cos?tk （2）L?r?mv??Mdt??02??zOx4-15．如图，人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心
r2=4R。求：
??（1）卫星在近地点及远地点处的速率v1和v2（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）； （2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。 解：（1）利用角动量守恒：r1mv1?r2mv2，得
v1?2v2，
同时利用卫星的机械能守恒，这里，万有引力势能
Mm， r1Mm1Mm22?mv2?G0所以：mv1?G0，
22R24RMm2Rg考虑到：G02?mg，有： v1?，v2?R3表达式为：EP??G0（2）利用万有引力提供向心力，有：
Rg； 6G0Mm?2?mv2?，
可得到：??8R。 3
4-16．火箭以第二宇宙速度v2?2Rg沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。
解：第二宇宙速度时E?0，由机械能守恒：
1Mm 0?mvA2?G24RM1vA?G?gR
2R2再由动量守恒：mv2R?mvA?4Rsin?，
ROA4R?vv2?2Rg代入：???300。
4-1．一?思考题4
粒子初时沿x轴负向以速度v运动，后被位于坐标原点的金核所散射，
?使其沿与x轴成120的方向运动(速度大小不变)．试用矢量在图上表出?粒子所受到的冲量I的大小和方向。 ?mv2解：由：
???I?mv2?mv1， 考虑到v2?v1，
?I见右图示。 ?mv 14-2．试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。 风风?解：可用动量定理来解释。设风沿与航向成α角的方向
f//'从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研
究对象，Δm表示这块空气的质量，v1和v2分别表示它 ??f'吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风 f?'速大小基本不变，但是由于Δm的速度方向改变了，所 以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，Δm必然 对帆有一个反作用力f?，此力的方向偏向船前进的方向，将f?分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。
4-3．两个有相互作用的质点m1和m2（m2?m1），已知在不受外力时它们的总2动量为零，m1的轨迹如图，试画出m2质点的运动轨迹。
解：由m1v1?m2v2?0，见下图。
??
4-4．当质量为m的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：
12Gmem12Gmem， mv2??mv1?2r22r1mv2sin?2?mv1sin?1，
mv2Gmem?， rr2试分析上述三个方程各在什么条件下成立。
解：（1）机械能守恒； （2）角动量守恒；
（3）万有引力提供向心力。
4-5．在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？
答：对于这个系统，（1）动量守恒；（2）能量守恒，因为没有外力做功。
4-6．体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是： （A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。 答：本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.
当两小孩质量相等时，M=0。则系统角动量守恒，两人的实际的速度相同，将同时到达滑轮处，与谁在用力，谁不在用力无关。
选择C。
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