20. （本题满分12分）
某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式.
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.
21 .（本题满分12分）
122（1）当a?1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方，求a的取值范围．
已知函数f(x)?(a?)x?lnx.（a?R）
高三数学（理）答案（2010.10）
1-12 DBDBA CAACB CB
121123213. 3 14. (–∞, 2)和(2, +∞) 15. 2?2?()2 16. -1.
3
17．解：由已知f(x)?2?∴A?(??,117 f(x)??4时x?，f(x)?3时x?4 x?3617][4,??) ∵B?{x|(x?(a?2))(x?(a?3))?0} 617?5?a?2?∴?6??a?1
6?a?3?4?18．（1）解：∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)?2.∴a?b?1. ①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，∴ f'(1)?8，
又f'(x)?3x2?2ax?b，∴2a?b?5. ② 解由①②组成的方程组，可得a?4,b??3．
2（2）由（1）得f'(x)?3x?8x?3，令f'(x)?0，可得x??3或x?1； 31． 311∴函数f(x)的单调增区间为(??,?3),(,??)，减区间为(?3,).
33令f'(x)?0，可得?3?x?a?x?11?ax???f(x),?f(x)是奇函数； 19. （1）∵定义域为x?R,且f(?x)??xa?11?axax?1?222x?1?,∵a?1?1,?0??2,即f(x)的值域为??1,1?； （2）f(x)?xxxa?1a?1a?1（3）设x1,x2?R,且x1?x2，
ax1?1ax2?12ax1?2ax2f(x1)?f(x2)?x1?x2?x1?0 x2a?1a?1(a?1)(a?1)（∵分母大于零，且a?1时，y＝ax为R上的增函数，由x1?x2得ax1?ax2 ）
∴f(x)是R上的增函数。
20.解（1）投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，
由题设f(x)=k1?x，g(x)=k2?x，.
1155?k1?，又g(4)??k2? 442415x，(x?0) 从而f(x)=x,(x?0)，g(x)=
44由图知f(1)?（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业的利润为y万元
Y=f(x)+g(10?x)=
x5?10?x，（0?x?10）， 4410?t251525?t??(t?)2?,(0?t?10), 令10?x?t,则y?444216当t?525，ymax?4，此时x?10?=3.75 24?当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元。 121x2?1a?121.解：（1）当时，f(x)?x?lnx，f?(x)?x??；
2xx对于x?[1，e]，有f?(x)?0，∴f(x)在区间[1，e]上为增函数，
1e2∴fmax(x)?f(e)?1?，fmin(x)?f(1)?.
2212（2）令g(x)?f(x)?2ax?(a?)x?2ax?lnx，
2则g(x)的定义域为（0，+∞）.
在区间（1，+∞）上函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方等价于g(x)?0在区间（1，+
∞）上恒成立.
1(2a?1)x2?2ax?1(x?1)[(2a?1)x?1]?∵g?(x)?(2a?1)x?2a??
xxx11① 若a?，令g?(x)?0，得极值点x1?1，x2?，
22a?11当x2?x1?1，即?a?1时，在（x2，+∞)上有g?(x)?0，
2此时g(x)在区间(x2，+∞)上是增函数，并且在该区间上有 g(x)∈(g(x2)，+∞)，不合题意；
当x2?x1?1，即a?1时，同理可知，g(x)在区间(1，+∞)上，有 g(x)∈(g(1)，+∞)，也不合题意；
1② 若a?，则有2a?1?0，此时在区间(1，+∞)上恒有g?(x)?0，
2从而g(x)在区间(1，+∞)上是减函数；
要使g(x)?0在此区间上恒成立，只须满足g(1)??a?由此求得a的范围是[?11?0?a??， 2211，]. 22综合①②可知，当a∈[
?112，2]时，
函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方.
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