2017年天津市静海一中高二理科下学期6月月考数学试卷
一、选择题（共6小题；共30分） 1. 若
，其中 ， 都是实数， 是虚数单位，则
B. B. 种
A. A. 种
C. C. 种
D.
2. 将 ， ， ， ， 五个字母排成一排，若 与 相邻且 与 不相邻，则不同排法有
D. 种
3. 设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为
A.
4. 若二项式
B. C.
D.
的展开式中的常数项为 ，则
B.
A.
C.
D.
5. 已知定义在 上的函数 和 满足 ，则下列不等式成立的是
A. C. 6. 在用数学归纳法证明
，且
B. D.
（ ， ）的过程中：假设当
（ ， ）时，不等式 成立，则需证当 时， 也成立．若 ，则
A.
B.
C. D.
二、填空题（共8小题；共40分）
7. 将 名教师， 名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由
名教师 名学生组成，不同的安排方案共有 种．
8. 若将函数 表示为 ，其中 为实数，则 ．
9. 设复数 （ 是虚数单位， ， ），且 ，若复数
的点在第四象限，则实数 的取值范围为 ． 10. 观察下列等式：
；
；
照此规律，第 个等式可为 ．
对应
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11. 已知函数 存在单调递减区间，且 的图象在 处的切线 与曲线
相切，符合情况的切线 有 条．
12. 个不加区别的小球放入编号为 ， ， 的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号
数，不同的放法种数 ．
13. 已知函数 在定义域内是增函数，则实数 范围为 ．
14. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，若函数
在定义域上有且仅有 个零点，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
15. 由四个不同的数字 ， ， ， 组成无重复数字的三位数．
（1）若 ，其中能被 整除的共有多少个? （2）若 ，其中能被 整除的共有多少个? （3）若 ，其中的偶数共有多少个?
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是 ，求 ．
16. 已知A，B，C三个箱子中各装有 个完全相同的小球，每个箱子里的球分别标着号码 ， ， ，
现从A，B，C三个箱子中各摸出 个球．
（1）若用数组 中的 ， ， 分别表示从A，B，C三个箱子中摸出的球的号码，问数组
共有多少种?
（2）求“取出的 个号码中恰有 个相同”的概率；
（3）若取出的 个球的号码中奇数的个数为 ，求 的分布列． 17. 已知函数 ， ．
（1）设 ，试判断函数 在区间 上是增函数还是减函数?并证明
你的结论； （2）若方程
在区间
上有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
（3）当 时，若
恒成立，求整数 的最大值．
18. 已知数列 的前 项和为 ， 与 满足关系式 ．
（1）求 ， ， ， 的值；
（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明．
19. 在“出彩中国人”的一期比赛中，有 位歌手（ ）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选
出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出 位出彩候选人，其中媒体甲是 号歌手的歌迷，他必选 号，另在 号至 号中随机的选 名；媒体乙不欣赏 号歌手，他必不选 号；媒体丙对 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 至 号歌手中随机的选出 名． （1）求媒体甲选中 号且媒体乙未选中 号歌手的概率；
（2） 表示 号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求 的分布列及数学期望． 20. 已知函数 ，其中 ．
（1）若函数 在 上有极大值 ，求 的值； （2）讨论并求出函数 在区间 上的最大值；
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（3）在（ ）的条件下设 ，对任意 ，证明：不等
式
恒成立．
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答案
第一部分 1. A
【解析】
，
所以 ， ，
所以 ． 2. D
【解析】根据题意，分 步分析：
①、先将 全排列，有 种情况，排好后有 个空位，
②、将 看作一个元素，考虑其顺序有 种情况，插入三个空位之一，有 种方法，则 的安排方法有 种，
③、这时 ， ， 产生四个空位，最后将 插入与 不相邻的三个空位之一，有 种方法，则一共有 种不同排法． 3. B
【解析】因为函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称，
函数 上的点 到直线 的距离为
设 ，则 ，
， 由 可得 ， 由
可得 ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增， 所以当 时，函数 ，
，
，
由图象关于 对称得： 最小值为 ． 4. C
【解析】二项式
的展开式的通项公式为：
令 ，则 ． 即有
．
则 ．
5. D
【解析】
所以 ， 所以 ，即 ， 把 代入 中，有 所以 ，
设 ， ， 因为 ， ，
则 恒成立，故 在 为减函数，
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，则
，
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