2018全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
时间：120分钟 满分：150分 姓名：
一、填空题（本题共10小题，每小题107分，满分70分.要求直接将答案写在横线上.） 1、函数y?cosx?cos2x(x?R)的值域为__ __.
2、已知(a?bi)?3?4i，其中a,b?R，i是虚数单位，则a2的值为_ ___. ?b223、圆心在抛物线x2?2y上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为___ __.
1?4x?x，则不等式f(1?x2)?f(5x?7)?0的解集为__ ___. 4、设函数f(x)?x25、已知等差数列{an}的前12项的和为60，则a1?a2?L?a12的最小值为__ ___. 6、已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为___ __.
7、在?ABC中，AB?5，AC?4，且AB?AC?12,设P是平面ABC上的一点，则
PA?(PB?PC)的最小值为_____.
n8、设g(n)??(k,n)，其中n?Nk?1*，(k,n)表示k与n的最大公约数，则g(100)的值为
=___ __.
9、将1,2,3,4,5,6,7,8,9，这9个数随即填入3?3的方格中，每个小方格恰填写一个数，且所填的数各不相同，则使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为__ __.
10、在1,2,3,4,L,1000中， 能写成a2?b2?1(a，b?N)的形式，且不能被3整除的数有__ ____个.
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二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11、如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆O的方程为x?y?4，过点P(0,1)的直线
22l与圆O交于A,B两点，与x轴交于点Q，设QA??PA,QB??PB，求证：???为定
值.
2312、已知{an}是公差为d(d?0)的等差数列，且a1?t?a2?t?a3?t，
yAPQoxB（1）求实数t，d的值；
（2）若正整数满足m＜p＜r，am?2t?ap?2t?ar?2t?0，求数组(m,p,r)和相应的通项公式an.
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mpr13、如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，?ABD与?ABC的内心分别为I1和 I2，直线I1I2分别与AC，BD交于点M,N，求证：PM?PN.
14、从1,2,3,L,2050这2050个数中任取2018个数组成集合A，把A中的每个数染上红色或蓝色，求证：总存在一种染色方法，是使得有600个红数及600个蓝数满足下列两个条件：
①这600个红数的和等于这600个蓝数的和； ②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.
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参考答案：
（1）[0,]； （2）5； （3）(x?1)2?(y?)2?1； （4）(2,3)； （5）60；
9812（6）83； （7）?165； （8）520； （9）； （10）501；
148（11）
8131； （12）①t??，d?；②(m,p,r)?(1,3,4)，an?(3n?11)； 3288
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