初中数学竞赛辅导资料
二元一次方程组解的讨论
甲内容提要
?a1x?b1y?c11． 二元一次方程组?的解的情况有以下三种：
ax?by?c22?2① 当
a1b1c1（∵两个方程等效） ??时，方程组有无数多解。
a2b2c2a1b1c1（∵两个方程是矛盾的） ??时，方程组无解。
a2b2c2a1b1?（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解： a2b2② 当
③ 当
c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ? （这个解可用加减消元法求得）
ca?ca?y?2112?a1b2?a2b1?2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解
含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 乙例题
例1. 选择一组a,c值使方程组??5x?y?7
?ax?2y?c① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解
解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。
解得a=10, c≠14。
③当 5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a取什么值时，方程组??x?y?a 的解是正数？
5x?3y?31?解：把a作为已知数，解这个方程组
31?3a??31?3ax??0??x?0???22得? ∵? ∴?
?y?0?y?5a?31?5a?31?0??2??2?a???解不等式组得??a???答：当a的取值为6
31113 解集是6?a?10 3153511?a?10时，原方程组的解是正数。 53?2x?my?4例3. m取何整数值时，方程组?的解x和y都是整数？
x?4y?1?8?x?1???m?8解：把m作为已知数，解方程组得?
2?y??m?8?∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。 取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。 解得 m=9，7，10，6。
经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z粒,依题意得
?x?y?z?100??(1)? 1?3x?4y?z?100(2)?7?由（1）得x= 100－y－z (3)
把（3）代入（2），整理得 y=－200+3z－设
z 7z?k(k为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k 7100?k???300?27k?09??∵x,y,z都是正整数∴??200?20k?0解得?k.?10（k是整数）
?7k?0?k.?0???∴10＜k<111, ∵k是整数， ∴k=11 9即x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略)
丙练习11
1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况： ① ??x?2y?3?2x?y?3?3x?5y?1 ②? ③?
?3x?6y?9?4x?2y?3?3x?5y?12??x?3y?a?a?1?22． a取什么值时方程组?9x?6y?9a?2a?2的解是正数？ ?3． a取哪些正整数值，方程组??x?2y?5?a的解x和y都是正整数？
?3x?4y?2a4． 要使方程组??x?ky?k的解都是整数， k应取哪些整数值？
x?2y?1?5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，
鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
初中数学竞赛辅导资料（12）
用交集解题
甲内容提要
1． 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约
数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。
2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。 3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合， 正正整整数右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 数数集集的公共部分，是它们的交集――正整数集。 集不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。 例如不等式组??2x?6?(1)解的集合就是
??x?2?(2)不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3. 如数轴所示： 0 2 3 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2） 乙例题
例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。 解：除以3余2的自然数集合A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝ 除以5余3的自然数集B＝｛3，8，13，18，23，28，……｝ 除以7余2自然数集合C＝｛2，9，16，23，30，……｝ 集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。
例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。 解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数
的集合是｛1，3，7，9｝；
其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。
同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组
故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组。
例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都
订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？
解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A、B两种都订的人数集合）。 ∴只订A种刊物的人数是28－6＝22人； A＝28B＝21只订B刊物的人数是21－6＝15人；
AB只A只B小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。
62215设N，N（A），N（B），N（AB），N 分别表示总人数，订A种、B种、AB两种、都不订的人数，则得 ［公式一］N＝N+ N（A）+N（B）－N（AB）。
例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩
乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人， 问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？ 解：仿公式一,得［公式二］： N＝N+ N（A）+N（B）+N(C)－N（AB）－N（AC）－N(BC)+N(ABC) ①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人） AAB24 6②求N（BC）可用公式二：
ACABC∵40＝24＋18＋10－6－4－N（BC）＋1
4 1∴N（BC）＝3， 即同时会打篮球和排球的是3人 C 10B18③只会打排球的是10－3－1＝6（人）
例5. 十进制中，六位数19xy87能被33整除，求x和y的值
解：∵0≤x，y≤9， ∴0≤x+y≤18， －9≤x－y≤9，x+y>x－y ∵33＝3×11，
∴1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17 (1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数， 故x－y=－4，7
∵x+y和x－y是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解：
?x?y?8?x?y?14 ???x?y??4?x?y??4解得??x?y?11 ??x?y?7?x?9 ?y?2??x?y?17 ??x?y?7?x?12 ?y?5??x?2 y?6??x?5 ?y?9?（x=12不合题意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2
丙练习12
1． 负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿
2． 等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。 3． 12的正约数集合A＝｛ ｝，30的正约数集合B＝｛ ｝ 12和30的公约数集合C＝｛ ｝，集合C是集合A和集合B的＿＿ 4． 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：
?1?3x?6??x?2?x?2?0?x??1①? ②?③ ?3 ④? ??x??5?5x?0?x?2?0???2x??25． 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。 6． 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张
数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？ 7． 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数
位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。 8． 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。
那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？
9． 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，
赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？ 10. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？） 11. x?y?3?x?y?5?0
12. 十进制中，六位数1xy285能被21整除，求x,y的值（仿例5）
初中数学竞赛辅导资料（13）
用枚举法解题
甲内容提要
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行；
② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 乙例题 1 1 N例1 如图由西向东走， 43A11B从A处到B处有几 PC134种走法？ M 1 1 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从A到C有三种走法，在C处标上3， 从A到M（N）有3＋1＝4种， 从A到P有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B，可得1＋1＋11＝13（种走法）
例2 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项
式。
解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X的项的顺序列出（如左） 解法二：按X→Y→Z→X的顺序轮换写出（如右）
X4 ， X 4 ， Y4 ， Z4 X3Y， X3Z， X3Y ， Y3Z ， Z3X X2Y2， X2Z2， X2YZ， X3Z ， Y3X， Z3Y XY3， XZ3， XY2Z， XYZ2， X2Y2， Y2Z2 ， Z2X2
Y4， Z 4 Y3Z， Y2Z 2， YZ3。 X2YZ， Y2ZX， Z2XY 解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略) 例3 讨论不等式ax 解：把a、b、c都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表 ax<0的解集 b 正 负 零 a 正 负 零 当a>0时，解集是x< bb, 当a<0时，解集是x>, aa 当a=0,b>0时，解集是所有学过的数， 当a=0,b≤0时，解集是空集(即无解) 例4 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数 解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位， 再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计： 边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10 边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6 边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6 边长2单位，顶点在下的▽有：1 边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3 边长4单位，顶点在上的△有：1 合计共27个 丙练习13 1． 己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿ 2． a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3． xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿ 4． 如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的 所有线段，并统计总条数。 A B C D E F 5. 写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。 6. 除以4余1 两位数共有几个？ 7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？ 8. 把 边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计 算共有几个正方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？ 9. 右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从 AA到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？ 10. 列表讨论不等式ax>b的解集. 11. 一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数， 则这个正整数的最小值是＿＿ B 初中数学竞赛辅导资料（14） 经验归纳法 甲内容提要 1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如 ①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，……， 归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ）， 三位数从 100 到 999 共900个（9×102）， 四位数有9×103＝9000个（9×103）， ………… 归纳出n 位数共有9×10n-1(个) ③ 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42…… 推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。 由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明） 乙例题 例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 解：两条直线只有一个交点， 1 2 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4 ……… 第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点 由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个）， 这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］× n?1n(n?1), 即个交点。 22 例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如 5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数） 解：当n ＝1时，3n＝3, （n＋1）！＝1×2＝2 当n ＝2时，3n＝9， （n＋1）！＝1×2×3＝6 当n ＝3时，3n＝27, （n＋1）！＝1×2×3×4＝24 当n ＝4时，3n＝81, （n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120 当n ＝5时，3n＝243, （n＋1）！＝6！＝720 …… 猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。 例3 求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。 分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。 解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2 x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4 x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5 x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 ………… 由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解为x1=x2=x3＝……=x2001=1, x 2002=2， x2003=2003。 丙练习14 1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数 有＿＿＿＿个。 2． 十进制的两位数a1a2可记作10a1＋a2,三位数a1a2a3记作100a1+10a2+a3,四位数 a1a2a3a4记作＿＿＿＿，n位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿ 3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43 ＝（＿＿＿）2 ,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n3=( )2。 4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方） ①111?1－222?2＝（＿＿＿）2；111?1－222?2＝（ ＿＿）2。 ????????????????； 10个15个22n个1n个222 ②111＝（＿＿＿＿）；＝（＿＿＿）?155?5611?1155?56????????????????9位9位n位n位 5． 把自然数1到100一个个地排下去：123……91011……99100 ① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少 6．计算 1111＋＋＋…＋＝ 11?1212?1313?1419?20 （提示把每个分数写成两个分数的差） 7．a是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小. 8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽3等分，把长8等分，分成24个 小长方形，那么这24个长方形中， 两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。 本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个 9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。 本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。 10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。 11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。 初中数学竞赛辅导资料（15） 乘法公式 甲内容提要 1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。 2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2 立方和（差）公式：(a±b)(a2?ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广： ① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 ② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4） （a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式 （a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 ………… 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数 －－－－－ (a+b)(a2n1－a2n2b+a2n3b2－…＋ab2n2－b2n1)=a2n－b2n －－－ (a+b)(a2n－a2n1b+a2n2b2－…－ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地： －－－－－ （a－b）(an1+an2b+an3b2+…＋abn2+bn1)=an－bn 4. 公式的变形及其逆运算 由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2－2ab 由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时 an－bn能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除, a2n－b2n能被a+b及a－b整除。 乙例题 例1. 己知x+y=a xy=b 求 ①x2+y2 ②x3+y3 ③x4+y4 ④x5+y5 解： ①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b ②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab ③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2 ④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4) =(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］ =a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］ ＝a5－5a3b+5ab2 例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。 证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数) a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2 ∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数 ∴a2+3a+1是整数 证毕 例3. 求证：2222＋3111能被7整除 证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111 根据 a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4） ∴4111＋3111能被 4＋3整除 ∴2222＋3111能被7整除 例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25 ∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。 如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2)， 252=625 (6=2×3)， 352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5) …… 丙练习15 1． 填空： ①a2+b2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a－b)2+___ ③a3+b3=(a+b)3－3ab(___) ④a4+b4=(a2+b2)2－____ ,⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－_____ ⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－____ 2． 填空： ①(x+y)(___________)=x4－y4 ②(x－y)(__________)=x4－y4 ③(x+y)( ___________)=x5+y5 ④（x－y）(__________)=x5－y5 3.计算： ①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952= 4. 计算下列各题 ，你发现什么规律 ⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74= 5..已知x+ 1111=3, 求①x2+2 ②x3+3 ③x4+4的值 xxxx 6.化简：①（a+b）2(a－b)2 ②(a+b)(a2－ab+b2) ③(a－b)((a+b)3－2ab(a2－b2) ④(a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c) 7.己知a+b=1, 求证：a3+b3－3ab=1 8.己知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值 9.求证：233＋1能被9整除 10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方 11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们 的直径分别是a,b,c ① 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长 bc② 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。 a 初中数学竞赛辅导资料（16） 整数的一种分类 甲内容提要 1． 余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数， r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。 即：在整数集合中 被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数) 例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1 （∵－1＝5（－1）＋4。 －9＝5（－2）＋1。） 2． 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。 例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。 3． 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如： m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝ （k为整数） m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝. 或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。 m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝ 或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝， 其中5k－2表示除以5余3。 4． 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。 举例如下： ①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2） ②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数1×3＝3） ③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 （余数22＝4） 以上等式可叙述为： ① 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。 ② 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。 ③ 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是 4或9。 余数的乘方，包括一切正整数次幂。 如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64） 5． 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。 乙例题 例1. 今天是星期日，99天后是星期几？ 分析：一星期是7天，选用模m=7, 求99除以7的余数 解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同， 29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同， ∴99天后是星期一。 又解：设｛A｝表示A除以7的余数， ｛99｝＝｛（7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛（7＋1）3｝＝｛13｝＝1 例2. 设n为正整数，求43 n+1 除以9的余数。 分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式 解：43 n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n ∵(9×7＋1)n除以9的余数是1n=1 ∴43 n+1 除以9的余数是4。 例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数 解：设三个连续整数为n－1,n,n+1 M=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2) 把整数n按模3，分为三类讨论。 当n=3k （k为整数，下同）时，M＝3×3k［(3k)2+2］=9k(9k2+2) 当n=3k+1时， M＝3（3k+1）［(3k+1)2+2］＝3（3k+1）(9k2+6k+3) =9(3k+1)(3k2+2k+1) 当n=3k+2时， M＝3（3k+2）［(3k+2)2+2］＝3（3k+2）(9k2+12k+6) ＝9(3k+2)(3k2+4k+2) ∴对任意整数n，M都是9的倍数。 例4. 求证：方程x2－3y2=17没有整数解 证明：设整数x按模3分类讨论， ①当x＝3k时， （3k）2－3y2=17, 3(3k2－y2)=17 ⑵当x=3k±1时， （3k±1）2－3y2=17 3(3k2±2k－y2)=16 由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数， ∴上述等式都不能成立，因此，方程x2－3y2=17没有整数解 例5. 求证：不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除 证明：把n按模5分类讨论， 当n=5k时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1 当n=5k±1 时，n2+n+1＝（5k±1）2＋5k±1＋1 ＝25k2±10k+1+5k±1＋1＝5（5k2±2k＋k）＋2±1 当n=5k±2时，n2+n+1＝（5k±2）2＋5k±2＋1 ＝25k2±20k+4+5k±2＋1＝5（5k2±4k+k+1）±2 综上所述，不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除 又证：n2+n+1＝n(n+1)+1 ∵n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6 ∴n2+n+1的个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。 丙练习16 1. 已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整数) 填写表中各数除以3的余数。 a+b a+c ab ac 2a 2b a2 b2 b3 b5 a+b)5 2. 376÷7的余数是＿＿＿＿＿ 3．今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期几？ 4．已知m,n都是正整数，求证：3 nm(n2+2) （a2－1） 5. 已知a是奇数但不是3的倍数，求证：24 （提示a可表示为除以6余1或5，即a=6k±1） 6． 把正整数按表中的规律排下去，问100 一 二 三 四 五 将排在哪一列？答：＿＿＿ 1 2 3 4 7． 已知正整数n不是4的倍数 8 7 6 5 求证：1n＋2n＋3n＋4n是10的倍数 9 10 11 12 8. 任给5个整数，必能从中找到3个， 16 15 14 13 其和能被10整除，这是为什么？ 9对任意两个整数，它们的和、差、积中 至少有一个是3的倍数，试说明理由。 10．任意10个整数中，必有两个,它们的差是9的倍数。这是为什么？如果改为任意n＋1个，则必有两个,它们的差是n的倍数，试说明理由。 11.证明 x2+y2-8z=6没有整数解 （1990年德化县初中数学竞赛题） 12.从1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止 即1234? ???198位那么这个数用9除之，余数是＿＿＿（1987年全国初中数学联赛题） 初中数学竞赛辅导资料（17） 奇数 偶数 内容提要 1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被 2整除的整数是奇数，如－1，1，3。 如果n 是整数，那么2n是偶数，2n－1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。 2． 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为： 奇数集?奇数 整数? 或 整数集合 偶数集?偶数 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。 3． 奇数偶数的运算性质： 奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数， 两个連续整数的和是奇数，积是偶数。 例题 例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数 证明：设k为整数，那么2k－1是任意奇数， （2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1) ∵k(k－1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k－1)是8的倍数 即任意奇数的平方减去1是8的倍数 例2 已知：有n个整数它们的积等于n，和等于0 求证：n是4的倍数 证明：设 n 个整数为 x1,x2,x3,…xn 根据题意得 ??x1x2x3?xn?n① ?x?x?x???x?0②?23n?1如果n为正奇数，由方程（1）可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n一定是偶数； 当n为正偶数时，方程（1）左边的x1,x2,x3,…xn中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。 所以n是4的倍数。 例3己知：a,b,c都是奇数 求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解 证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立； 若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。 既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数， ∴方程ax2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法) 例4求方程x2－y2＝60的正整数解 解：(x+y)(x－y)=60， 60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10 左边两个因式(x+y)，(x－y)至少有一个是偶数 因此x, y必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组 ?x?y?30?x?y?10 ???x?y?2?x?y?6解得??x?16?x?8 ? y?14y?2???x?16?x?8 ? ?y?14?y?2∴方程x2－y2＝60的正整数解是? 练习17 1． 选择题 ①设n是正整数，那么n2+n-1的值是（ ） （A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数 ②求方程85x－324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（ ） ?x?5?x?329?x?653?x?978 （A）?（B）?（C）?（D）? y?1y?86y?171y?256????2． 填空： ①能被3，5，7都整除的最小正偶数是＿＿＿ ②能被9和15整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿ ③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇数或偶数？答＿＿ ④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答＿＿ ⑤100?01能被11整除，那么n是正奇数或正偶数？答＿＿ ?????n位3． 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？ 4． 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由 5． 求证：两个連续奇数的平方差能被8整除 6． 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数 7． 求方程（2x－y－2）2＋（x+y+2）2=5的整数解 8． 方程19x+78y=8637的解是( ) (A)??x?78?x?84?x?88?x?81 (B)? (C)? (D)? y?91y?92y?93y?91????9. 十进制中，六位数19ab87能被33整除，求a,b的值 初中数学竞赛辅导资料（18） 整式的整除 内容提要 1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这 个整式被另一个整式整除。 2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式， 那么 式的整除的意义可以表示为： 若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除 例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）, ∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。 显然当 x=4或x=－1时x2－3x－4＝0， 3． 一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0 反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。 4． 在二次三项式中 若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab 在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。 例题 例1己知 x2－5x+m能被x－2整除，求m 的值。 x－3 解法一：列竖式做除法 （如右） x－2 x2－5x+m 由 余式m－6＝0 得m=6 x2－2x 解法二：∵ x2－5x+m 含有x－2 的因式 －3x+m ∴ 以x=2代入 x2－5x+m 得 －3x+6 22－5×2 ＋m=0 得m=6 m－6 解法三：设x2－5x+m 除以x－2 的商是x+a (a为待定系数) 那么 x2－5x+m＝(x+a)(x－2)＝ x2+(a-2)x－2a 根据左右两边同类项的系数相等，得 ?a?2??5?a??3 解得 （本题解法叫待定系数法） ???2a?mm?6??例2 己知:x4－5x3+11x2+mx+n能被x2－2x+1整除 求：m、n 的值及商式 解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0） ∴商式可设为x2+ax+b 得x4－5x3+11x2+mx+n＝（x2－2x+1）（x2+ax+b） ＝x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b 根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得 ?a?2??5?a??3?b?1?2a?11?b?n?? ? 解得? ?a?2b?m?m??11???1b?n?n?4∴m=－11, n=4, 商式是x2－3x+4 例3 m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz (xyz≠0)能被x+y+z整除? 解：当 x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除时，它含有x+y+z 因式 令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0 即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0 把左边因式分解，得 －yz(y+z)(m+3)=0, ∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立 ∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值 ， 当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。 例4 分解因式x3－x+6 分析：为获得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=－2时值为0，可知有因式x＋2，（以下可仿例1） 解：x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3） 练习18 1． 若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10, 则m=___, n=___ 2． x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿， x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿ 3． 己知x3+mx+4能被x+1整除，求m 4． 己知x4+ax3+bx－16含有两个因式x－1和x –2,求a和b的值 5． 己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式 6． 己知ab≠0,m取什么值时，a3－6a2b+mab2-8b3有因式a－2b. 7． 分解因式：①x3-7x+6, ②x3-3x2+4, ③x3-10x-3 8.选择题 ① x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（ ） (A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z) (c) (x-y)(y-z)(x+z) (D) (x-y)(y+z)(x+z) ②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（（A） p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15. ） 初中数学竞赛辅导资料（19） 因式分解 内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法 1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1 ②a3+b3+c3－3abc ①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc) 例2因式分解：①x3－11x+20 ② a5+a+1 ① 分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这 里16是完全平方数） ② 解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4) =x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5) ③ 分析：添上－a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1 =a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1) 2． 运用因式定理和待定系数法 定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x3－5x2+9x－6 ②2x3－13x2+3 ①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次 因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。 解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x －2， ∴x3－5x2+9x－6＝（x －2）（x2－3x+3,） ②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数 ±1，±3得商±1，±2，±可知只有当x=解：∵x= 13，±，再分别以这些商代入原式求值， 221时，原式值为0。故可知有因式2x-1 21时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1， 2设2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3）， （a是待定系数） 比较右边和左边x2的系数得 2a－1＝－13， a=－6 ∴2x3－13x+3＝（2x－1）（x2－6x－3）。 例4因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20 解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y), 用待定系数法，可设 2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系数， 比较右边和左边的x和y两项 的系数，得 ?a?4?a?2b?14 解得 b?5?3a?3b??3∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5) 又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20) 这是关于x的二次三项式 常数项可分解为－（3y－4）（3y+5）,用待定系数法，可设 2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］ 比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1 ∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5) 练习19 1． 分解因式：①x4+x2y2+y4 ②x4+4 ③x4－23x2y2+y4 2. 分解因式： ①x3+4x2－9 ②x3－41x+30 ③x3+5x2－18 ④x3－39x－70 3. 分解因式：①x3+3x2y+3xy2+2y3 ②x3－3x2+3x+7 ③x3－9ax2+27a2x－26a3 ④x3+6x2+11x+6 ⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2 4. 分解因式：①3x3－7x+10 ②x3－11x2+31x－21 ③x4－4x+3 ④2x3－5x2+1 5. 分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8 ③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－91 6．分解因式： ①x2y2+1－x2－y2+4xy ②x2－y2+2x－4y－3 ③x4+x2－2ax －a+1 ④（x+y）4+x4+y4 ⑤（a+b+c）3－（a3+b3+c3） 7. 己知：n是大于1的自然数 求证：4n2+1是合数 8．己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式 求：当x=1时，f(x)的值 初中数学竞赛辅导资料（20） 代数恒等式的证明 内容提要 证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。 具体证法一般有如下几种 1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论 的形式。 2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。 3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。 4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边， 例题 ＋ 例1求证：3 n+2－2n2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1） 证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n） ＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2) ＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边 又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1) ＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n 右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1 ＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n ∴左边＝右边 例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc 证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1) ∵:a+b+c=0 ∴a3+b3+c3－3abc＝0 即a3+b3+c3=3abc 又证：∵:a+b+c=0 ∴a=－（b+c） 两边立方 a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3） 移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc 再证：由己知 a=－b－c 代入左边,得 （－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3 ＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc 111?b??c?,a≠b≠c 求证：a2b2c2=1 bca11b?cb?c证明：由己知a-b=?? ∴bc= cbbca?b11c?ac?aa?b ??b-c= ∴ca= 同理ab= accab?cc?aa?bb?cc?a ∴ab bc ca＝＝1 即a2b2c2=1 c?aa?bb?c例3 己知a+ 例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b2－4ac=0 证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2 ， m,n是常数 那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2 ?a?m2?根据恒等式的性质 得?b?2mn ∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0 ?c?n2?练习20 1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab ②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1) 2.己知：a2+b2=2ab 求证：a=b 3.己知：a+b+c=0 求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2 4.己知：a2=a+1 求证：a5=5a+3 5.己知：x＋y－z=0 求证： x3+8y3=z3－6xyz 6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c 7.己知：a∶b=b∶c 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c) 8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac 求证：9．己知： 1111??? abbcxyz?? 求证：x+y+z=0 a?bb?cc?a10.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式 11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证：ad=bc
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