v3＝10×3＋1＝31||， v4＝31×3＋1＝94||， v5＝94×3＋1＝283||，
∴f(3)＝((((3＋0)×3＋1)×3＋1)×3＋1)×3＋1＝283.
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基础巩固
一、选择题
1．在秦九韶算法中用到的一种方法是( ) A．消元 B．递推 C．回代 D．迭代
[答案] B
[解析] 秦九韶算法中用到的是递推法．
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时||，需要做减法的次数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案] C
[解析] (84||，294)→(84||，210)→(84||，126)→(84||，42)→(42||，42)||，一共做了4次减法．3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时||，应把f(x)变形为( ) A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11) C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11 [答案] D
[解析] f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－11||，故选D. 4．用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是( ) A．15 B．17 C．51 D．85
[答案] B
[解析] 204－85＝119||，119－85＝34||，85－34＝51||，51－34＝17||，34－17＝17||， ∴204和85的最大公约数是17||，故选B.
5．根据递推公式??v0＝an
?v||，其中k＝1||，2||，…||，n||，可得当k＝2时||，v2的值为( k＝vk－1x＋an－k
A．v2＝anx＋an－1
B．v2＝(anx＋an－1)x＋an－2
第5页/共9页
)
C．v2＝(anx＋an－1)x [答案] B
D．v2＝anx＋an－1x
[解析] 根据秦九韶算法知||，v2＝v1x＋an－2||，v1＝anx＋an－1||，故选B.
6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.5x5＋4x4－3x2＋x－1||，当x＝3时的值时||，先算的是( ) A．3×3 C．0.5×3＋4 [答案] C
[解析] 把多项式表示成如下形式：
f(x)＝((((0.5x＋4)x＋0)x－3)x＋1)x－1||，按递推方法||，由内往外||，先算0.5x＋4的值||，故选C.
二、填空题
7．117与182的最大公约数等于________． [答案] 13
[解析] (117||，182)→(117||，65)→(52||，65)→(52||，13)→(39||，13)→(26||，13)→(13||，13)||，所以其最大公约数为13.
8．245与75两数的最小公倍数为________． [答案] 3 675
[解析] 先求245与75的最大公约数．(245||，75)→(170||，75)→(95||，75)→(20||，75)→(55||，20) →(35||，20)→(15||，20)→(5||，15)→(10||，5)→(5||，5)．
故245与75的最大公约数为5||，
∴245与75的最小公倍数为245×75÷5＝3 675. 三、解答题
9．利用更相减损之术求319和261的最大公约数．
[解析] 319－261＝58||，261－58＝203||，203－58＝145||，145－58＝87||，87－58＝29||，58－29＝29.
即(319||，261)→(261||，58)→(203||，58)→(145||，58)→(87||，58)→(58||，29)→(29||，29)．故319与261的最大公约数是29.
能力提升
一、选择题
1．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时||，v4的值为( )
A．－57
B．220 B．0.5×35 D．(0.5×3＋4)×3
第6页/共9页
C．－845 [答案] B
[解析] 由秦九韶算法||，得 v0＝3||，
v1＝3×(－4)＋5＝－7||， v2＝－7×(－4)＋6＝34||， v3＝34×(－4)＋79＝－57||， v4＝－57×(－4)－8＝220.
D．3 392
2．三个数390、455、546的最大公约数是( ) A．65 C．26 [答案] D
[解析] 对于三个数求最大公约数时||，先求其中两个数的最大公约数||，再用此公约数与第三个数求出最大公约数||，此时就是三个数的最大公约数.
1
3．已知f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－||，用秦九韶算法求f(－2)等于( )
2197A．－
2183C．
2[答案] A
1
[解析] ∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－||，
2
1197
∴f(－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－＝－.
22
4．用“更相减损之术”求120与75的最大公约数时||，需要做减法运算的次数为( ) A．6 C．4 [答案] C
[解析] ∵(120||，75)→(45||，75)→(45||，30)→(15||，30)→(15||，15)||， ∴120与75的最大公约数是15||，共进行4次减法运算． 二、填空题
5．4 830与3 289的最大公约数为________． [答案] 23
B．5 D．3 197
B．
2183D．－ 2B．91 D．13
第7页/共9页
[解析] (4 830||，3 289)→(1 541||，3 289)→(1 541||，1 748)→(1 541||，207)→(1 334||，207)→(1 127||，207)→(920||，207)→(713||，207)→(506||，207)→(299||，207)→(92||，207)→(92||，115)→(92||，23)→(69||，23)→(46||，23)→(23||，23)．
6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值的算法： ①第一步||，x＝－2.
第二步||，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1. 第三步||，输出f(x)． ②第一步||，x＝－2.
第二步：f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1. 第三步||，输出f(x)．
③需要计算5次乘法、5次加法． ④需要计算9次乘法、5次加法． 以上说法中正确的是________(填序号)． [答案] ②③
[解析] ①是直接求解||，并不是秦九韶算法||，故①错．对于一元n次多项式||，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法||，故③正确．
三、解答题
7．求1 356和2 400的最小公倍数．
[解析] (1 356||，2 400)→(1 356||，1 044)→(312||，1 044)→(312||，732)→(321||，420)→(312||，108)→(204||，108)→(96||，108)→(96||，12)→…→(12||，12)．
∴1 356和2 400的最大公约数为12.
∴1 356和2 400的最小公倍数为(2 400×1 356)÷12＝271 200.
8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6在x＝－1时的值时||，令v0
＝a6||，v1＝v0x＋a5||，…||，vt＝v5x＋a0||，求v3的值．
[解析] f(x)＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2||，v0＝1||，v1＝v0x－5＝－6||，v2＝v1x＋6＝－6×(－1)＋6＝12||，v3＝v2x－3＝－15.
9．有甲、乙、丙三种溶液||，质量分别为147 g||，343 g||，133 g||，现要将它们分别全部装入小瓶中||，每个小瓶装入液体的质量相同||，则每个小瓶最多装多少溶液？
[解析] 每个小瓶内溶液的质量应是147||，343||，133三种溶液质量的公约数||，最大质量即是其最大公约数.
先求147和343的最大公约数．
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