★ 形成性考核作业 ★
离散数学作业6
姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业．
要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：
1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．
2. 在线提交word文档
3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．
一、填空题
1．命题公式P?(Q?P)的真值是 1或T ．
2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习. 则命题“如
果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 P∨Q→R ．
3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P?Q的主析取范式是 (P?Q?┐R) ∨(P?Q?R)
4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 ? x ( P ( x) ∧ Q ( x)) ．
5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式?xA(x)??yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) ∨A(b)) ∨ (B(a) ∧B(b)) ．
6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(?x)A(x) 的真值为 0 ．
7．谓词命题公式(?x)((A(x)?B(x)) ?C(y))中的自由变元为 y ． 8．谓词命题公式(?x)(P(x) ?Q(x) ?R(x，y))中的约束变元为 x ．
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三、公式翻译题
1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．
解：设P：今天是天晴
则该语句符号化为 P
2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
解：设P：小王去旅游，Q：小李也去旅游
则该语句符号化为 P∧Q
3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
解：设P：他去旅游 Q：他有时间
则该语句符号化为 P→Q
4．将语句“41次列车下午五点开或者六点开．”翻译成命题公式．
解：命题P：41次列车下午5点开；
命题Q：41次列车下午6点开； P或Q.
5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x是人 Q(x)：x不去工作
则谓词公式为 (?x)(P(x)∧Q(x))
6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x是人 Q(x)：x努力工作
则谓词公式为 (?x)(P(x) →Q(x))
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四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．命题公式?P?P的真值是1．
解：不正确，┐P∧P的真值是0，它是一个永假式，命题公式中的否定律
就是┐P∧P=F
2．(?x)(P(x)→Q(y)∧R(z))中的约束变元为y．
解：不正确。该式中的约束变元为x。
3．谓词公式(?x)P(x,y)?(?z)Q(x,y,z)中?x量词的辖域为P(x,y)?(?z)Q(x,y,z)．
解：错误。谓词公式(?x)P(x,y)?(?z)Q(x,y,z)中?x量词的辖域为P（x，y）。
4．下面的推理是否正确，请给予说明．
(1) (?x)A(x)? B(x) 前提引入
(2) A(y) ?B(y) US (1)
解：不正确，(1)中(?)x的辖域仅是A(x)，而不是A(x) ? B(x)。
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四．计算题
1． 求P?Q?R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．
解：┐P?(Q∨R）= ┐P?Q∨R
所以合取范式和析取范式都是┐P?Q∨R
所以主合取范式就是┐P?Q∨R
所以主析取范式就是(?P??Q ??R) ?(?P??Q? R) ? (?P?Q? ?R) (?P?Q ?R) ?(P??Q? R) ? (P?Q?? R) ? (P?Q? R)
2．求命题公式(P?Q)?(R?Q) 的主析取范式、主合取范式．
解：(P??Q)?(R?Q)= ?(P??Q) ? (R?Q)= (?P?Q) ? (R?Q) 其中(?P?Q)= (?P?Q) ? (R??R)= (?P?Q? R) ?(?P?Q ??R) 其中(R?Q)= (R?Q) ? (P??P)= (P?Q? R) ? (?P?Q ? R)
所以原式=(?P?Q? R) ?(?P?Q ??R) ? (P?Q? R) ? (?P?Q ? R)
=(?P?Q? R) ?(?P?Q ??R) ? (P?Q? R)
= (?P?Q ??R) ?(?P?Q? R) ? (P?Q? R)=m2?m3?m7 这就是主析取范式
所以主合取范式为M0? M1? M4? M5? M6
可写为(P?Q?R)? (P?Q??R) ? (?P??Q?R) ? (?P?Q??R) ? (?P??Q?R)
3．设谓词公式(?x)(P(x,y)?(?z)Q(y,x,z))?(?y)R(y,z)． （1）试写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元．
解：(1)量词?x的辖域为 P(x,y) ?(?z)Q(y,x,z) 量词?z的辖域为Q(y,x,z) 量词?y的辖域为R(y,x)
(2) P(x,y)中的x是约束变元，y是自由变元
Q(y,x,z)中的x和z是约束变元，y是自由变元 R(y,x)中的x是自由变元，y是约束变元
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4．设个体域为D={a1, a2}，求谓词公式?y?xP(x,y)消去量词后的等值式；
解：?y?xP(x,y)= ?xP(x, a1) ??xP(x, a2)
=( P(a1, a1) ? P(a2, a1)) ?( P(a1, a2) ? P(a1, a2))
五、证明题
1．试证明 (P?(Q??R))??P?Q与? (P??Q)等价．
证明：(P?(Q??R))??P?Q?(?P?(Q??R))??P?Q ?(?P?Q??R)??P?Q
?(?P??P?Q)?(Q??P?Q)?(?R??P?Q) ?(?P?Q)?(?P?Q)?(?P?Q??R) ??P?Q （吸收律） ??(P??Q) （摩根律）
2．试证明：┐（A∧┐B）∧（┐B∨C）∧┐C ? ┐A．
证明：┐（A∧┐B）∧（┐B∨C）∧┐C ?(┐A∨B)∧（┐B∨C）∧┐C ?(┐A∨B)∧((┐B∧┐C)∨(C∧┐C)) ?(┐A∨B)∧((┐B∧┐C)∨0) ?(┐A∨B)∧(┐B∧┐C)
?(┐A∧(┐B∧┐C))∨(B∧(┐B∧┐C)) ?(┐A∧(┐B∧┐C))∨0 ?┐A∧(┐B∧┐C) ?┐(A∨B∨C) 故由左边不可推出右边┐A。
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