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职高高二数学数学复数及其应用 教案

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第三十八课时:复数代数形式的运算(一)

【教学目标】

知识目标:

会进行复数代数形式、三角形式的运算. 能力目标:

通过对复数相关计算的学习,使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高.

【教学重点】

(1)复数代数形式的加、减运算. (2)复数三角形式的乘、除、乘方运算.

【教学难点】

三角形式的乘法、除法、乘方运算.

【教学设计】

在讲解复数代数形式的运算时,可以首先指出,当数的概念扩充以后,需要把数的运算也进行扩充.例1是两个代数形式的复数进行加、减运算的知识巩固性题目,例2比例1稍微复杂一些,是三个代数形式的复数进行加、减的混合运算.例3(1)是两个代数形式的复数进行乘法运算的知识巩固性题目,例3(2)是代数形式的复数进行乘方运算.例4是求复数与其共轭复数的乘积,结果是该复数实部与虚部的平方和.这个结论非常重要,使用它可以把虚数转化为实数,在复数的除法中就要用到这个结论.复数代数形式的除法运算,类似于初中代数根式运算中的分母有理化.例5、例6都是两个代数形式的复数进行复数除法运算的知识巩固性题目,但略有不同,例5中的两个复数直接写为商的形式,而例6的两个复数未直接写为商的形式,需转化为商的形式,再进行“分母实数化”.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】

动脑思考 探索新知

复数代数形式的运算

1. 复数代数形式的加法和减法

复数的加法和减法,可以按照多项式的加法和减法运算法则进行运算.将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.即

(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i (3.5)

(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i (3.6)

可以证明(证明略),复数的加法运算满足交换律与结合律.即对任意的复数z1、z2、z3,有

(1) 交换律 z1?z2?z2?z1;

(2) 结合律 (z1?z2)?z3?z1?(z2?z3).

由于复数可以用向量表示,故复数的加减运算相当于向量的加减运算.设复数

??????????z1?a?bi(a,b?R)和复数z2?c?di(c,d?R)在复平面内对应的向量分别为OZ1和OZ2,

??????????则OZ1?(a,b),则 OZ2?(c,d),?????????? OZ1?OZ2?(a?c,b?d),?????????? OZ1?OZ2?(a?c,b?d).巩固知识 典型例题

例1 计算:(1)(4+3i)+(7+9i);

(2)(8+3i)- (1-2i).

解 (1)(4+3i)+(7+9i)

?(4?7)?(3?9)i?11?12i;

(2)(8+3i)- (1-2i)

?(8?1)?[3?(?2)]i?7?5i.

例2 计算(3-2i)+ (2+3i)—(4-2i). 解 (3-2i)+ (2+3i)- (4-2i)

= (3+2-4)+ [-2+3-(-2)]i =1+3i.

(转下节)

第三十九课时:复数代数形式的运算(二)

【教学目标】

知识目标:

会进行复数代数形式、三角形式的运算. 能力目标:

通过对复数相关计算的学习,使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高.

【教学重点】

(1)复数代数形式的加、减运算. (2)复数三角形式的乘、除、乘方运算.

【教学难点】

三角形式的乘法、除法、乘方运算.

【教学设计】

在讲解复数代数形式的运算时,可以首先指出,当数的概念扩充以后,需要把数的运算也进行扩充.例1是两个代数形式的复数进行加、减运算的知识巩固性题目,例2比例1稍微复杂一些,是三个代数形式的复数进行加、减的混合运算.例3(1)是两个代数形式的复数进行乘法运算的知识巩固性题目,例3(2)是代数形式的复数进行乘方运算.例4是求复数与其共轭复数的乘积,结果是该复数实部与虚部的平方和.这个结论非常重要,使用它可以把虚数转化为实数,在复数的除法中就要用到这个结论.复数代数形式的除法运算,类似于初中代数根式运算中的分母有理化.例5、例6都是两个代数形式的复数进行复数除法运算的知识巩固性题目,但略有不同,例5中的两个复数直接写为商的形式,而例6的两个复数未直接写为商的形式,需转化为商的形式,再进行“分母实数化”.

【课时安排】

1课时.

【教学过程】(接上节)

动脑思考 探索新知

2.复数代数形式的乘法和除法

两个复数相乘可以按照多项式相乘的法则来进行,在所得的结果中,把i2换成-1,并把实部与虚部分别合并.设z1?a?bi(a,b?R),z2?c?di(c,d?R),则

2z1?z2?(a?bi)?(c?di)?ac?adi?bci?bdi?(ac?bd)?(ad?bc)i,

即 (a?bi)?(c?di)?(ac?bd)?(ad?bc)i (3.7)

显然,两个复数的积仍然是复数.可以证明(证明略)复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律,即对任意复数z1、z2、z3,有 (1) 交换律 z1?z2?z2?z1;(2

结合律 (z1?z2)?z3?z1?(z2?z3);

n?z?z??????z(n?N).(3)分配律 z1?(z2?z3)?z1?z2?z1?z3. 规定 z?? ?n个在实数范围内成立的乘法公式在复数范围内仍然成立.

与实数相类似,除法运算可以看成乘法运算的逆运算.利用复数的代数形式,求

z1的z2基本方法是,将分式的分子和分母同乘以分母的共轭复数z2,使分母变为实数.即

a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i(ac?bd)(bc?ad) ???2?2i.2222c?di(c?di)(c?di)c?dc?dc?d巩固知识 典型例题

例3 设z1?4?2i,z2?5?6i,计算 (1) z1?z2,(2) z12.

2?20?24i?10i?12i?32?14i. 解 (1) z1?z2=(4?2i)?(5?6i) (2) z12?(4?2i)2?16?16i?4i2?12?16i. 例4 设z?a?bi(a,b?R),计算z?z.

解 z?z=(a?bi)?(a?bi)=a2?b2i2=a2?b2.

说明 由此例可以看到,互为共轭的两个复数的乘积是实数,并且等于这个复数的模的平方.

例5 计算

5?2i. 分析 1?2i的共轭复数为1?2i. 1?2i5?2i(5?2i)(1?2i)5?10i+2i?4i21?12i112???i. ?解 ?221?2i(1?2i)(1?2i)5551?2例6 计算(1?i)?(1?i).

1?i?2i(1?i)2???i.解 (1?i)?(1?i)? ?1?i(1?i)(1?i)2作业:?1?(3?2i)?(?3?4i);

??2?(34i?)(?53i?)?(.4 4i)

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