第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛-初二组二试试题及解答

第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛

初二组二试试题及解答

1．一块四边形绿地（如图），BC?a,CD?b,DA?c,?C?120o,?D?135o.求这

块绿地的面积。（用a,b,c表示）。

解。作BE?DC延长线 于E， AF?CD延长线于F.??C?1200,?D?135o.??BCE?60o,?ADF?45o. a3,BE?a,222DA?c,AF?DF?c2BC?a,CE?S四边形ABCD?St梯形ABEF?S?BCE?S?ADF( ? ?232ac?a)(c?b?3122 2222)1a -??a??c?c222222223ab?22bc?(2?6)ac . 8

111112.计算1?1??1???1?????1?22222212233411?. 200322004211解。1?2??n(n?1)2n4?2n3?3n2?2n?1?n2(n?1)2111?1?(?).n(n?1)nn?1(n2?n?1)2(n2?n?1)?n2(n?1)2n(n?1)

?1?原式=2003?1?12003?2003. 20042004

3。同初一组二试第3题。

4．小明与小华做游戏，记分规则如下：开始每人记分牌上都是1分，以后每赢一次，就将记分牌上的分数乘以3。游戏结束后，小明的得分减去小华的得分恰好为675的整数倍。问：小明至少比小华多赢多少次？ 解。设小明赢 m次，小华赢n次，则 3m?3n?675k?33?52k （k为正整数）

3n(3m?n?1)?33?52k ?(3,5)?1,?3m-n?1是25的倍数。 又3m?n?1是偶数，所以，3m?n?1的个位数是0， 3m?n的个位数是1。?m-n?4p(p为正整数）34p?1?81p?1?(81?1)(81p?1?81p?2???81?1)?25b(b为正整数）?16(81p?1?81p?2???81?1)?5b，又(16,5)?1, 对于正整数t, 81t的个位数是1,所以，p?1最小是4，即p?5,m?n?20.答。小明至少比小华多赢20次。

5．同小学组二试第6题。

6．如图，101?7长方阵，行距和列距都是1。第6列上(除与第0行相交处外)，每一个阵点上放有一个靶标，而前5列上所有的阵点上都放有障碍物。神枪手站在第0行第0列的位置，要击中靶标，必须先扫清子弹前进弹道（直线）上的一切障碍物。若神枪手每发子弹都能击中目标，而且每发子弹能击毁且仅能击毁一个障碍物。那么 1）不需要扫除障碍物就能击中的靶标有多少个？

2）要扫清一个障碍物才能击中的靶标有多少个？

3）将全部靶标击中（击中靶标前，要先击毁阻碍子弹前进的所有障碍物），需要多少发子弹（不能浪费子弹）？

解。我们将第x列第y行的阵点记为(x,y). 在（6，a）处有一个靶标，从(0,0)到(6,a)的 直线上若有阵点B(x,y)(如下图), 则连接OA, B点在OA上，

连接BC.S?AOC?S?BOC?S?ABC，此即

6a?6y?(6?x)a?6a?6y?ax

6y?axya令最大公约数(6,a)?d,6?dw,a?dv ?，

x6av2v(d?1)v????? 6w2w(d?1)wAB线段上共有d-1个阵点。因此，在击毁靶标(6,a)之前，先要清除d-1个障碍物。 所以，要击毁靶标(6,a)就要用d发子弹。

1） 若1?a?100, 且最大公约数(6,a)=1, 则靶标(6,a)只需要1发子弹就能击

毁。不超过100的自然数中，既不能被2整除，也不能被3整除的数与6互质。 1到100的自然数被2整除的数的个数=100/2=50； 1到100的自然数被3整除的数的个数=[100/3]=33； 1到100的自然数被6整除的数的个数=[100/6]=16。 故1到100的自然数或被2整除，或被3整除的数的个数=50+33-16=67。因此，100以内的自然数与6互质的数的个数=100-67=33，即有33个靶标只需要一发子弹就能击毁。

2） 若靶标(6,a) 前面只有一个障碍物，那么最大公约数(6,a)=2。 100以内的自然数，能被2整除，但不能被6整除的数有50-16=34个. 所以，用两发子弹就能清除的靶标有34个。

3）在1到100的自然数中满足最大公约数(6,a)=3的数a有33-16=17个，所以要击毁这样的靶标，每个都要用3发子弹。

1到100的自然数中满足最大公约数(6,a)=6的数a有16个，所以要击毁这样的靶标，每个都要用6发子弹。故而，击毁所有靶标要用 16?6?17?3?34?2?33?248（发）子弹。

第十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛

初二组一试试题及解答

1．某次数学竞赛前60名获奖。原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人；现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人。调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分。如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分 ，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？

解。设调整后一等奖平均分为x，二等奖平均分为y，三等奖平均分为z.则

10x?20y?30z?5(x?3)?15(y?2)?40(z?1),即x?y?2z?17.

又 (y?2)?(z?1)?7 y?z?6

?x?y?5.答。调整后一等奖比二等奖平均分数多5分

{x}?x?[x]。如果 [x]?{x}是正整数。2．已知2003?x?2004, [x]表示不大于x的最大整数，求满足条

件所有实数x的和。

解。显然，[x]?2003, 2003是质数，0?{x}?1 ，

设2003{x}?p, 由题设，p 是整数。1?p?2003. p,p?1,2,3,?,2002.2003

1?2?3???2002和S?2003?2002??4011007.2003x?2003?(74?64)(154?64)(234?64)(314?64)(394?64)3．计算4.

(3?64)(114?64)(194?64)(274?64)(354?64)解。a4?64?a4?16a2?64?16a?[(a?2)?4][(a?2)?4]222?(a2?8)2?16a2?(a2?4a?8)(a2?4a?8)

(52?4)(92?4)(132?4)(172?4)(212?4)(252?4)(292?4)(332?4)(372?4)(412?4)原式?2(1?4)(52?4)(92?4)(132?4)(172?4)(212?4)(252?4)(292?4)(332?4)(372?4)412?4?2?337.1?44．凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16,问：对角线AC,BD为何值时，四边形ABCD面积最大？面积最大值是多少？ 解。设AB=x, AC=y, 则CD=16-x-y.

11xy?y(16?x?y)22(当?BAC??ACD?90o时取等号）S四边形ABCD?S?ABC?S?ACD?11111?xy?8y-xy?y2??(y2?16y)??(y?8)2?32.22222当y?8时，面积最大值为32。

答。当?BAC??ACD?90o,AC?8,BD?82时， 四边形ABCD的最大面积为32。

100个1?????5。M?111?111,求同时满足下列两个条件的最小自然数N： 1）N是M的整数倍，且N?10M; 2)N的各位数字之和为100。

解。设N?sM,则sM的各位数字和是100，所以，sM?M?M(s?1)是9的倍数。100个?????(M,9)?1, ?s-1是9的倍数。令s?1?9k, M(s?1)?9Mk?99?99k,100个100个98个1?????????????sM?99?99k?11?11，当k?10时，N?sM?10111?1101。

6． n?3?7?11?15?19???2003，求n的末三位数。

5个乘数中恰有一个是5的倍数，所以，n是125的倍数。设n的解： n的任意连续末三位数为xyz，则