数学 平面向量的应用
一、选择题
→→→
1．若O为△ABC内一点，|OA|＝|OB|＝|OC|，则O是△ABC的( ) A．内心 C．垂心
B．外心 D．重心
→→→→→
2．在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，则|BA＋BD＋BC|＝( ) A．5 C．45
B．35 D．25
→→→→→
3．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 C．正三角形
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为( ) A．1 C．3
B．2 D．2
→→→
5．已知A，B是圆心为C半径为5的圆上两点，且|AB|＝5，则AC·CB等于( ) 5
A．－
2C．0
5
B．
253D． 2
→→
6．在△ABC中“AB·BC<0”是“△ABC为锐角三角形”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
7．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分→→→1→→→
别在线段BC和DC上，且BE＝λBC，DF＝DC，则AE·AF的最小值为( )
4λ
29
A．
1817
C．
18
7
B．
815D． 8
8．(安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测数学试题)如图，在△ABC中，∠BAC＝π→→→→1→→，AD＝2DB，P为CD上一点，且满足AP＝mAC＋AB，若△ABC的面积为23，则|AP|的32
最小值为( )
A．2 C．3 二、填空题
9．已知向量a＝(λ，－6)，b＝(1，－2)，若a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_______．
→→
10．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.DE·DC的最大值为________． xxx2π11．已知向量m＝(3sin，1)，n＝(cos，cos2)．若m·n＝1，则cos(－x)＝ ___ ．
444312．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，→→
O为坐标原点，且OM·ON＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．
B．3 4D． 3
三、解答题
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－2b，a)，n＝(cosA，cosC)，且m⊥n．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，b＋c＝3，求△ABC的面积．
14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n．
(1)求角B的大小；
(2)设BC中点为D，且AD＝3，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．
1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，3b)与n＝(cosA，sinB)平行，则A＝( )
π
A．
6π
C．
2
π
B．
32πD． 3
→→→→
2．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈3→→
R，若BQ·CP＝－，则实数λ＝( )
2
1
A．
21±10C．
2
1±2B． 2－3±22D．
2
→→→→
3．已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA＋OB|＝|OA－OB|(O为坐标原点)，则锐角θ＝ ．
4． (2018·浙江)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是_________，最大值是 ___ ．
5．(2018·广西南宁摸底)已知向量m＝(2cosx，sinx)，n＝(cosx,23cosx)(x∈R)，设函数f(x)＝m·n－1．
(1)求函数f(x)的单调增区间；
π
(2)已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)＝2，B＝，边AB＝3，求边BC．
4
【参考答案】
一、选择题
→→→
1．若O为△ABC内一点，|OA|＝|OB|＝|OC|，则O是△ABC的( B ) A．内心 C．垂心
B．外心 D．重心
[解析] 由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B．
→→→→→
2．在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，则|BA＋BD＋BC|＝( C ) A．5 C．45
B．35 D．25
42＋22＝45．
→→→→
[解析] 由平行四边形法则可得BA＋BC＝BD，则原式＝2|BD|＝2
→→→→→
3．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为( A )
A．等腰三角形 C．正三角形
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
→→→→→→→→→→→→→
[解析] ∵(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，∴CB·[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝CB·(AB＋AC)＝0，由此可得△ABC中，BC与BC边上的中线垂直，∴△ABC为等腰三角形，故选A．
4．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为( B ) A．1 C．3
B．2 D．2
[解析] ∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)． ∴|a－b|＝
02＋?sinθ－cosθ?2＝1－sin2θ．
∴|a－b|最大值为2.故选B．
→→→
5．已知A，B是圆心为C半径为5的圆上两点，且|AB|＝5，则AC·CB等于( A )
5
A．－
2C．0
5
B．
253D． 2→→→→→→
[解析] 由于弦长|AB|＝5与半径相等，则∠ACB＝60°?AC ·CB＝－CA ·CB＝－|CA |·|CB5|·cos∠ACB＝－5·5·cos60°＝－．
2
→→
6．在△ABC中“AB·BC<0”是“△ABC为锐角三角形”的( B ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
→→→→
[解析] AB·BC<0?BA·BC>0?B为锐角，但得不出△ABC为锐角三角形；反之，△ABC为→→→→→→锐角三角形，B一定为锐角?BA·BC>0?AB·BC<0，∴“AB·BC<0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选B．
7．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分→→→1→→→
别在线段BC和DC上，且BE＝λBC，DF＝DC，则AE·AF的最小值为( D )
4λ
29
A．
1817
C．
18
7
B．
815D． 8
71λ15→→→→→→→→→1→
[解析] AE·AF＝(AB＋BE)·(AD＋DF)＝(AB＋λBC)·(AD＋DC)＝＋＋≥，当且仅
4λ82λ281λ
当＝，即λ＝1时取等号，故选D． 2λ2
8．(安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测数学试题)如图，在△ABC中，∠BAC＝π→→→→1→→，AD＝2DB，P为CD上一点，且满足AP＝mAC＋AB，若△ABC的面积为23，则|AP|的32最小值为( B )
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