高中数学第2章推理与证明2.2.1直接证明学案苏教版选修1_2

2.2.1 直接证明

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点) 2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点) 3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)

[基础·初探]

教材整理 直接证明

阅读教材P46～P48“练习”以上部分，完成下列问题. 直接证明

直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明. 1.综合法

(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.

(2)推证过程：已知条件?…?…?结论. 2.分析法

(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.

(2)推证过程：结论?…?…?已知条件.

1.判断正误：

(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.( )

(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)证明不等式“2＋7<3＋6”最合适的方法是分析法.( )

(4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√

2.命题“对于任意角θ，cosθ-sinθ＝cos 2θ”的证明过程“cosθ-sinθ＝

4

4

4

4

1

(cosθ-sinθ)(cosθ＋sinθ)＝cosθ-sinθ＝用了________(填“综合法”或“分析法”).

222222

1＋cos 2θ1-cos 2θ

-＝cos 2θ”应

22

【解析】 从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法. 【答案】 综合法

3.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件为________.

【导学号：97220017】

b2＋c2-a2222

【解析】 要证∠A为钝角，只需证cos A＝<0即可，也就是b＋c

2bc【答案】 b＋c

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

2

2

2

[小组合作型]

综合法的应用 (1)在△ABC中， 已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状一定是

__________.

122

(2)已知方程(x-mx＋2)(x-nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m-n|

2＝__________.

1ba222

(3)下面的四个不等式：①a＋b＋3≥ab＋3(a＋b)；②a(1-a)≤；③＋≥2；④(a4ab＋b)·(c＋d)≥(ac＋bd).其中恒成立的有__________.

【自主解答】 (1)∵cos Acos B>sin Asin B， ∴cos Acos B-sin Asin B>0，

2

2

2

2

2

∴cos(A＋B)>0，即cos(π-C)>0，∴cos C<0， π

又0

2(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，

x1＝，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4.

设公比为q，则x4＝x1q，

13

∴4＝·q，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，

2

93

由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝，n＝x2＋x3＝3，∴|m-n|＝.

22(3)①a＋b＋3＝＋＋＋＋＋≥2222222(a＋b)(当且仅当a＝b＝3时，等号成立).

1?211?a-②a(1-a)＝-a＋a＝-??＋≤. ?2?44

22

2

2

2

3

12

a23b23a2b2a2b2

2

×＋22

a23

2

×＋22

b23

2

×＝ab＋32

③当a与b异号时，不成立.

④∵ad＋bc≥2abcd，∴(ac＋bd)＝ac＋bd＋2abcd≤ac＋ad＋bc＋bd＝(a＋b)(c＋d)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立.

3

【答案】 (1)钝角三角形 (2) (3)①②④

2

1.综合法处理问题的三个步骤

仔细分析题目的已知条件包括隐含条件，分析已知与

分析条件

→结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、

选择方向

公式、结论，确定恰当的解题方法 ↓

把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是

转化条件

→文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要

组织过程

有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路 ↓

解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，

适当调整

→并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法

回顾反思

的选取2.用综合法证明不等式时常用的结论

2

2

222

22

2

22

22

22

22

22

22

2

?a＋b?2≤a＋b(a，b∈R)；

(1)ab≤??2?2?

3

22

(2)a＋b≥2ab(a≥0，b≥0).

[再练一题] 1.综合法是( ) A.执果索因的逆推证法 B.由因导果的顺推证法 C.因果分别互推的两头凑法 D.原命题的证明方法 【答案】 B

分析法的应用 设a，b为实数，求证：a＋b≥222(a＋b). 2【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键. 【自主解答】 当a＋b≤0时，∵a＋b≥0， ∴a＋b≥

222

2

2

(a＋b)成立. 2

当a＋b>0时，用分析法证明如下： 要证a＋b≥

22

2

2

(a＋b)， 2

22

只需证(a＋b)≥?

?2?2

a＋b?， ?2?

12222

即证a＋b≥(a＋b＋2ab)，

2即证a＋b≥2ab.

∵a＋b≥2ab对一切实数恒成立， ∴a＋b≥

2

2

2

22

2

2

(a＋b)成立. 2

综上所述，不等式成立.

1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.

2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.

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