73、2头牛卖7个金币，3头猪卖4个金币，2只羊卖1个金币。有人用100个金币买了三种牲畜共100头（只），问牛、猪、羊各买了多少头（只）？
【解】如果用未知数x、y、z分别表示所买的牛、猪、羊的头（只）数，则可以根据它们的总数是100头（只）和三种牲畜的总价之和是100个金币，分别列出方程。
解：设牛有x头、猪有y头、羊有z 只。则依题意，有 x+y+z=100 ①
741x+y+z=100 ② 232由②×6-①×3，得18x+5y=300。即 y=(300-18x)/5。
因x、y、z都是自然数，所以x可取5、10、15，相应地，y的取值是42、24、6。 把x=5、y=42,x=10、y=24、x=15、y=6分别代入①，依次z可取53、66、79。
因此有三种买法：牛5头，猪42头，羊53只；牛10头，猪24头，羊66只；牛15头，猪6头，羊79只。
74、某地收费的标准是：若每月用电不超过50度，则每度收5角；若超过50度，则超出部分按每度8角收费。某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？ 【解】因为33既不是5的倍数又不是8的倍数，所以甲用电超过50度，乙用电不足50度。设甲用电（50+x）度时，乙用电（50-y）度时。因为甲比乙多交33角电费，所以有8X+5Y＝33。容易看出X＝1，Y＝5，推知甲用电51度，乙用电45度。
75、五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法。
（A）48 （B）72 （C）96 （D）120
【解】五位同学的排列方式共有
5×4×3×2×1=120（种）
利用对立事件求排列数
如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（种）。 因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×2=48(种)； 贝贝和妮妮不相邻的排列方式有 120-48=72（种）。
76、一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只
青蛙一共有多少种不同的跳法？
【解】6种，如下图，第1步跳到B，4步回到A有3种方法；同样第1步到C的也有3种方法。共有6种方法。
77、阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先
去公园再去图书馆；第三天公园修路不能通行．问：这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？
分析：教师要帮助学生理解三天路线有什么不同？每天的路线有无限制条件？若有，是什么？仍然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有16条；第二天（必须经过公园）共有8 条；第三天（必须不经过公园）共有8条．
78、某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如下图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色
给下图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色．共有_____种不同的染色方法．
【解】把地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G(如图1)．为了便于观察，可以把图1改画成(图2)(相邻关系不改变)．我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860 种不同的染色方法．
79、在图中的每个区域内涂上ABCD四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有__________种不同的染色方法。
【解】三个圆重叠的部分有4种颜色可选，而只有2个圆重叠的三个区域只剩下3种颜色，并且不能相同，所以为P33，当这两种确定了，那么剩下的三个只是一个圆的区域只有唯一的填法。 所以，只有4×P33＝24种符合条件染色方法。 80、在图中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有 一个“兵”．有____种不同的放法．
【解】 第一列有2种放法．第一列放定后，第二列又有2 种放法．?如此下去，共有2×2×2×2=16种不同的放法．
81、把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？
【解1】：先给每人2个，还有14个苹果，每人至少分一个，13个空插2个板，有C(2,13)=78种分法
分组相当于放隔板,一种分组方法对应一种放隔板方法 【解2】：也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。
82、如图，正方形ACEG的边界上共有7个点A、B、C、D、E、F、G、其中B、D、F分别在
边AC、CE、EG
上．以这7个点的4个点为顶点组成的不同的四边形的个数等于_____．
【解】从7个点中选出4个点有
7?6?5?4?35种方法．但其中三点共线的情况，不能组
4?3?2?1成四边形．这共线的三点可能是A、B、C，可能是C、D、E，也可能是E、F、C，而第四个点可从其余4点中选取，因此应去掉的情况有
3×4=12种，组成的不同的四边形的个数是35—12=23．
83、10个三角形最多将平面分成几个部分？
【解】设n个三角形最多将平面分成an个部分。
n=1时，a1=2；
n=2时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有2×3=6（个）交点。这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即a2＝2＋2×3。
n＝3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3＝12（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：
a3=2＋2×3＋4×3。
??
一般地，第n个三角形与前面（n-1）个三角形最多有2（n-1）×3个交点，从而平面也增加2（n－1）×3个部分，故
an=2＋2×3＋4×3＋?＋2（n-1）×3 ＝2＋［2＋4＋?＋2（n-1）］×3 ＝2＋3n（n-1）＝3n2-3n＋2。
特别地，当n＝10时，a10＝3×102＋3×10＋2=272，即10个三角形最多把平面分成272个部分。
找规律,从数小的开始找。 84、从
11111，，，，中选出四个填入下式的 中，使得等式成立.那么A有 种23468可能的值.
÷ = ÷ =A 【解】考虑五个分数的分母2，3，4，6，8.
1111???，由此得到 2634111111113 ÷=÷=2； ÷=÷=；
2436234621111211111 ÷=÷=； ÷=÷=.
6432363422 因为2×6=3×4，所以 同理，由3×8=4×6得到
11÷3411 ÷
841141111÷=； ÷=÷=2； 683364811111113=÷=； ÷=÷=. 6328643413243 所以，A有6种可能值，分别是2，，，，，.
22334=
【点评】这道题的考点，其实是比例的乘积式改写比例式。
85、有一个三位数abc，由a、b、c组成的所有三位数中，最大的三位数与最小的三位数的差恰好等于原来的三位数。求这个三位数是多少？
【解】： 首先这个差必然是99的倍数，所以该三位数必然也是99的倍数 198 297 396 495 594 693 792 891 990中
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