2021年北京林业大学水土保持学院725数学(自)考研核心题库之概率论与数理统计计算题精编

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1． 设总体X的概率密度为样本

(1)求的矩估计量

，并讨论其无偏性与一致性；

，并讨论其无偏性；

，令

，即

， ，

故是的无偏估计量。

，所以

(2)构造似然函数

也是的一致估计量。

，则 ，

，没有驻点。故只能直接从最大似然估计的定义出发来求L的最大值点。为使L

达到最大，

所以

X的分布函数为的分布函数为的概率密度为则(3)令

，则，

则

，所以比更有效。

，令

，故不是的无偏估计量。

?，则

这样和就都是的无偏估计。

应尽量地小，且得保证

。

(2)求的最大似然估计量【答案】(1)所以的矩估计量为

。其中

为未知参数，

，

为来自X的

(3)将和修改为的无偏估计和、并比较和的有效性

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2． 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50kg，标准差为5kg.若用最大载重量为5t的汽车承运.试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于

，其中

是标准正态分布函数).

视

【答案】设={装运的第箱的重量}(=1,2,…,n)(单位:kg),n是所求箱数.由条件可以把为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量

是独立同分布的随机变量之和. 由条件知

5,从而有

根据独立同分布的中心极限定理.即由

由此可见

，

从而n＜98.02,即最多可以装98箱.

3． 设随机变量(X，Y)具有概率密度

(1)求边缘概率密度(2)求条件概率密度【答案】⑴

(2)当y>0，

当x>0，

4． 设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从正态分布度为

我们称Z服从参数为

的瑞利(Rayleigh)分布.青岛掌?心博阅┮电子书

而

当z＜0时，

是不可能事件，此时 ，从而

.

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.

.

.试验证随机变量Z=的概率密

【答案】由X，Y独立同分布有

当

时，记

www.handebook.com ，则

从而.故

5． 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在X=x(0＜x＜1)的条件下，随机变量Y在区间(0，x)上服从均匀分布，求：青岛掌и心博Е阅电子书

(1)随机变量X和Y的联合概率密度. (2)Y的概率密度. (3)概率P{X+y＞1},

【答案】(1)因X?U(0,l),故X的概率密度为

在X=x(0＜x＜1)的条件下，Y的条件概率密度为

当0＜y＜x＜1时，随机变量X和Y的联合概率密度为

在其他点(x,y)处，有f(x,y)=0,即

(2)当0＜y＜l时，Y的概率密度为

当

或

时，fY(y)=0,因此

(3)

6． 在总体N(12，4)中随机抽一容量为5的样本值大于1的概率.(2)求概率

【答案】(1)

，则

.(1)求样本均值与总体平均值之差的绝对

.(3)求概率

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(2)

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.