备战中考数学——圆与相似的综合压轴题专题复习附答案解析.doc

备战中考数学——圆与相似的综合压轴题专题复习附答案解析

一、相似

1．如图，在 △ ABC中， ∠ C＝ 90°， AC＝ 8， BC＝6 。P 是

AB 边上的一个动点（异于

A、 B 两

点），过点 P 分别作 AC、 BC 边的垂线，垂足为 M、 N 设 AP=x.

（ 1）在 △ ABC 中， AB＝ ________；

（ 2）当 x＝________时，矩形 PMCN 的周长是 14；

（ 3）是否存在 x 的值，使得 △ PAM 的面积、 △ PBN 的面积与矩形 PMCN 的面积同时相等？请

说出你的判断，并加以说明。 【答案】 （1） 10 （ 2） 5

（ 3）解： ∵ PM⊥ AC， PN⊥ BC， ∴∠ AMP=∠ PNB=∠ C=90o. ∴AC∥ PN， ∠A=∠ NPB. ∴△ AMP∽ △PNB∽ △ ABC.

当 P 为 AB 中点时，可得 △AMP≌ △ PNB 此时 S△

△

AMP=S PNB=

× 4× 3=6

而 S 矩形 PMCN=PM·MC=3×4=12.

所以不存在 x 的值，能使 △ AMP 的面积、 △PNB 的面积与矩形

PMCN 面积同时相等 .

【解析】 【解答】（ 1） ∵ △ ABC为直角三角形，且 AC=8， BC=6，

（ 2 ） ∵ PM⊥ AC PN⊥ BC

∴MP∥ BC， AC∥ PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），

∴ ，

∵ AP=x， AB=10， BC=6， AC=8， BP=10-x，

∴矩形 PMCN 周长 =2（ PM+PN） =2（ x+8- x） =14，解得 x=5；

【分析】在 △ ABC 中， ∠C=90°，AC=8，BC=6 根据勾股定理，可求出 AB 的长； AP=x，可以

PMCN

的 周 长 的 表 达 式 ， 构 造 方 程 ， 解 方 程 得 到 x

值 . 可 以 证 明

得 到 矩 形

△AMP∽ △ PNB∽ △ ABC ， 只 有 当 P 为 AB 中 点 时 ， 可 得 △ AMP≌ △ PNB ， 此 时

S△AMP=S△PNB ， 分别求出当 P 为 AB 中点时 △ PAM 的面积、 △PBN 的面积与矩形 PMCN 的 面积比较即可 .

2．如图，正方形 ABCD、等腰 Rt△BPQ 的顶点 P 在对角线 AC 上（点 P 与 A、 C 不重合）， QP 与 BC 交于 E， QP 延长线与 AD 交于点 F，连接 CQ．

（ 1） ① 求证： AP=CQ； ② 求证： PA2=AF?AD； （ 2）若 AP： PC=1： 3，求 tan∠ CBQ．

【 答 案 】 （ 1 ） 证 明 ： ① ∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， ∴ AB=CB， ∠ABC=90° ， ∴∠ ABP+∠ PBC=90 ，°

∵△ BPQ 是等腰直角三角形， ∴ BP=BQ，∠ PBQ=90 ，°∴∠ PBC+∠

CBQ=90 ° ∴∠ ABP=∠ CBQ， ∴ △ABP≌ △ CBQ， ∴ AP=CQ; ② ∵四边形 ABCD是正方形， ∴ ∠ DAC=∠ BAC=∠ ACB=45°， ∵∠ PQB=45 ，°∠ CEP=∠ QEB， ∴ ∠ CBQ=∠ CPQ，

由① 得 △ ABP≌△ CBQ， ∠ ABP=∠ CBQ

∵∠ CPQ=∠ APF， ∴ ∠ APF=∠ ABP， ∴ △ APF∽ △ ABP，

(本题也可以连接 PD，证 △ APF∽ △ADP)

（ 2）证明：由 ① 得 △ ABP≌ △ CBQ，∴ ∠ BCQ=∠ BAC=45°， ∵∠ ACB=45 ,∴°∠ PCQ=45 +45° =90° °

∴ tan ∠ CPQ= , 由① 得 AP=CQ,

又 AP:PC=1:3， ∴ tan∠ CPQ= 由② 得 ∠ CBQ=∠ CPQ，

， ∴ tan ∠ CBQ=tan∠ CPQ= .

【 解 析 】 【 分 析 】 （ 1 ） ① 利 用 正 方 形 的 性 质 和 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 易 证 △ABP≌ △ CBQ， 可 得 AP=CQ； ② 利 用 正 方 形 的 性 质 可 证 得 ∠ CBQ=∠ CPQ， 再 由 △ABP≌ △ CBQ可证得 ∠ APF=∠ ABP，从而证出 △ APF∽ △ ABP，由相似三角形的性质得证；（2）由 △ ABP≌ △CBQ 可得 ∠ BCQ=∠ BAC=45°，可得 ∠PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可