抛物线
22xy??1的一个焦点，则1.（2019全国II文9）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆
3ppp= A．2 C．4
B．3 D．8
2
2.（2019浙江21）如图，已知点F(1，0)为抛物线y?2px(p?0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记△AFG,△CQG的面积为S1,S2. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求
S1的最小值及此时点G的坐标. S2
1x23.(2019全国III文21）已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条切
22线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，
5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 224．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C：y?4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为 A．5 B．22 C．23 D．33 5．(2018北京)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y?4ax截得的线段长为
4，则抛物线的焦点坐标为_________．
26．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线C：y?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与
2C交于A，B两点，|AB|?8．
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
7．（2018浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y?4x上存在
不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
yA2POMxB
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
y2?1(x?0)上的动点，求?PAB面积的取值范围． (2)若P是半椭圆x?42x28．（2017新课标Ⅰ）设A，B为曲线C：y?上两点，A与B的横坐标之和为4．
4(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM?BM，求直线
AB的方程．
9．（2017浙江）如图，已知抛物线x?y．点A(?,)，B(,)，抛物线上的点P(x,y)21124392413(??x?)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． 22yBQxAOP
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．
答案部分
?p?1.解析：由题意可得：3p?p???，解得p?8．故选D． ?2?2.（I）由题意得
2p?1，即p=2. 2所以，抛物线的准线方程为x=?1.
2（Ⅱ）设A?xA,yA?,B?xB,yB?,C?xc,yc?，重心G?xG,yG?.令yA?2t,t?0，则xA?t.
t2?1y?1，代入y2?4x，得 由于直线AB过F，故直线AB方程为x?2ty2?2?t2?1?ty?4?0，
2?12?，所以B?2,??.
t?t?t故2tyB??4，即yB??又由于xG?112?xA?xB?xc?,yG??yA?yB?yc?及重心G在x轴上，故2t??yc?0，33t??1?2?1???2t4?2t2?2?得C???t?,2??t??,G?,0?. 2??t??t???3t???所以，直线AC方程为y?2t?2tx?t2，得Qt2?1,0. 由于Q在焦点F的右侧，故t2?2.从而
????2t4?2t2?21?1?|2t||FG|?yA3t2S122t4?t2t2?2. ???4?2?4421t?22S2t?1t?1|QG|?yc|t2?1?2t?22|?|?2t|23tt2令m?t?2，则m>0，
S1m113. ?2?2?2?…2??1?3S2m?4m?323m??42m??4mm当m?3时，3S1取得最小值1?，此时G（2，0）.
2S2??1??,2?A?x1,y1?，则x12?2y1.
3.解析（1）设D?t,?1由于y'?x，所以切线DA的斜率为x1，故2?x ，整理得2 tx1?2 y1+1=0.
1x1?ty1?设B?x2,y2?，同理可得2tx2?2 y2+1=0. 故直线AB的方程为2tx?2y?1?0. 所以直线AB过定点(0,).
（2）由（1）得直线AB的方程为y?tx?121. 21?y?tx???2由?，可得x2?2tx?1?0. 2?y?x??2于是x1?x2?2t,y1?y2?t?x1?x2??1?2t?1.
2设M为线段AB的中点，则M?t,t???21??. 2?uuuuruuuuruuuruuur22EM?t,t?2由于EM?AB，而，AB与向量(1, t)平行，所以t?t?2t?0.解得
????t=0或t??1.
2uuuur5??2当t=0时，|EM|=2，所求圆的方程为x??y???4；
2??2uuuur5??当t??1时，|EM|?2，所求圆的方程为x2??y???2.
2??4．C【解析】由题意可知，如图?MFx?60，又抛物线的定义得MF?MN，所以?MNF
为等边三角形，在三角形NFH中，FH?2，
oFH?cos60o，得NF?4，所以M到NF3NF?23．选C． 2NF的距离为等边三角形?MNF中NF边上的高，易知为
yNMHOFx
25．(1,0)【解析】由题意知a?0，对于y?4ax，当x?1时，y??2a，由于l被抛物
2线y?4ax截得的线段长为4，所以4a?4，所以a?1，所以抛物线的焦点坐标为
(1.0)．
6．【解析】(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0)．
设A(x1,y1),B(x2,y2)，
?y?k(x?1),2222由?2得kx?(2k?4)x?k?0． ?y?4x2k2?4． ??16k?16?0，故x1?x2?k224k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?． 2k4k2?4?8，解得k??1（舍去）由题设知，k?1． k2因此l的方程为y?x?1．
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y?2??(x?3)， 即y??x?5．
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则
?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得?或? ?(y0?x0?1)2y??6.y?2?16.?0?0?(x0?1)??2因此所求圆的方程为(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144．
22222y12y27．【解析】(1)设P(x0,y0)，A(,y1)，B(,y2)．
44因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程
12y?x0y1?y0222即y1?2y0y1?8x0?y0?0的两个不同的实数根． ()?4?422所以y1?y2?2y0． 因此，PM垂直于y轴．
?y1?y2?2y0(2)由(1)可知? 2yy?8x?y00?12所以|PM|?123222?4x0)． (y1?y2)?x0?y0?3x0，|y1?y2|?22(y08431322?|PM|?|y1?y2|?(y0?4x0)2． 24因此，?PAB的面积S?PAB2y022?4x0??4x0?4x0?4?[4,5]． ?1(x0?0)，所以y0因为x?420因此，?PAB面积的取值范围是[62,1510]． 4x12x228．【解析】（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2，y1?，y2?，x1+x2=4，
44y?y2x1?x2于是直线AB的斜率k?1??1．
x1?x24x2x（2）由y?，得y'?．
42x
设M(x3,y3)，由题设知3?1，解得x3?2，于是M(2,1)．
2
设直线AB的方程为y?x?m，故线段AB的中点为N(2,2?m)，|MN|?|m?1|．
x2将y?x?m代入y?得x2?4x?4m?0．
4当??16(m?1)?0，即m??1时，x1,2?2?2m?1． 从而|AB|=2|x1?x2|?42(m?1)．
由题设知|AB|?2|MN|，即42(m?1)?2(m?1)，解得m?7．
所以直线AB的方程为y?x?7． 9．【解析】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，
14?x?1， k?12x?213因为??x?，所以直线AP斜率的取值范围是(?1,1)。
22x2?（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程
11?kx?y?k??0,??24 ?93?x?ky?k??0,??42解得点Q的横坐标是
?k2?4k?3xQ?
2(k2?1)因为
1|PA|=1?k2(x?)=1?k2(k?1)
2|PQ|= 1?k(xQ?x)=?所以
2(k?1)(k?1)2k?12，
|PA||PQ|=?(k?1)(k?1)3
令f(k)??(k?1)(k?1)， 因为
3f?(k)??(4k?2)(k?1)2，
12127因此当k?时，|PA||PQ|取得最大值．
216
所以f(k)在区间(?1,)上单调递增，(,1)上单调递减，
12
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