2020新课标高考数学(理)二轮总复习专题1 三角函数与解三角形-1

6.

π??

3．已知函数f(x)＝sin?2ωx－6?－4sin2ωx＋2(ω>0)，其图象与x轴相邻两个交点

??π

的距离为2.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点?π??π7π??－3，0?，求当m取得最小值时，g(x)在?－6，12?上的单调递增区间． ????π?31?2

2ωx－??解析：(1)函数f(x)＝sin6?－4sinωx＋2＝2sin2ωx－2cos 2ωx－?1－cos 2ωxπ?33?

2ωx＋4×＋2＝2sin 2ωx＋2cos 2ωx＝3sin?(ω>0)， 3?2??

π

根据函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为2，可得函数f(x)的最小正周期π2π

为2×2＝2ω，得ω＝1， π??2x＋故函数f(x)＝3sin?. 3???

π??

(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)＝3sin?2?x＋m?＋3?

??π??

＝3sin?2x＋2m＋3?的图象，

???π?

根据g(x)的图象恰好经过点?－3，0?，

??

π?π??2π?

可得3sin?－3＋2m＋3?＝0，即sin?2m－3?＝0，

????πkππ

所以2m－3＝kπ(k∈Z)，m＝2＋6(k∈Z)，

π

因为m>0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为6. 2π??

此时，g(x)＝3sin?2x＋3?.

??

π2ππ7ππ

令2kπ－2≤2x＋3≤2kπ＋2，k∈Z，得kπ－12≤x≤kπ－12，k∈Z，故函数g(x)

7ππ??

的单调递增区间为?kπ－12，kπ－12?，k∈Z.

??

π??π7π??π7π??π

结合x∈?－6，12?，可得g(x)在?－6，12?上的单调递增区间为?－6，－12?和

???????5π7π?

?12，12?. ??

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正三角形OAB的顶点A，B均在第一象限，设点A在x轴上的射影为C，∠AOC＝α.

→→(1)试将OA·CB表示为α的函数f(α)，并写出其定义域； (2)求函数f(α)的值域．

解析：(1)由条件知，A(cos α，sin α)，C(cos α，0)， B(cos(α＋60°)，sin(α＋60°))．

→→

所以OA＝(cos α，sin α)，CB＝(cos(α＋60°)－cos α，sin(α＋60°))，

→→所以OA·CB＝cos α·[cos(α＋60°)－cos α]＋sin α·sin(α＋60°)＝cos α·cos(α＋60°)＋111＋cos 2α2sin α·sin(α＋60°)－cosα＝cos[(α＋60°)－α]－cosα＝2－cosα＝2－＝

2

2

2

1

－2cos 2α，

π?1?

所以f(α)＝－2cos 2α，其定义域为?0，6?.

??

π?π????1?

(2)因为α∈?0，6?，所以2α∈?0，3?，cos 2α∈?2，1?，

??????1?1?1?1?1

所以－2cos 2α∈?－2，－4?，即函数f(α)的值域为?－2，－4?.

????