高中数学：全套教案新课标人教A版必修2

★题5．(2007四川·文) 如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°

(Ⅰ)求证：AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；（Ⅲ）求多面体PMABC的体积. 解：（Ⅰ）∵平面PCBM?平面ABC，AC?BC，AC?平面ABC．

∴AC?平面PCBM又∵BM?平面PCBM∴AC?BM

（Ⅱ）取BC的中点N，则CN?1．连接AN、MN．∵平面PCBM?平面ABC，平面PCBM?平面ABC?BC，PC?BC．∴PC?平面ABC．∵PM//CN，∴

?MN//PC，从而MN?平面ABC．

?作NH?AB于H，连结MH，则由三垂线定理知AB?MH．从而?MHN为二面角M?AB?C的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴

?AMN?60? ．在?ACN中，由勾股定理得AN?2．在Rt?AMN中，MN?AN?cot?AMN?2?36．在?33Rt?BNH中，NH?BN?sin?ABC?BN?AC15?MNH．在Rt中，?1??AB556MN3030tan?MHN??3?故二面角M?AB?C的大小为arctan

NH3355

★题6．(陕西卷)如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上 的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=2, 求:

(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小. 解: (Ⅰ)如图， 连接A1B，AB1， ∵α⊥β， α∩β=l ,AA1⊥l， BB1⊥l， ∴AA1⊥β， BB1⊥α． 则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角．Rt△BB1A中， BB1=2 ， AB=2， ∴sin∠BAB1 =

BB12AA1 = ． ∴∠BAB1=45°．Rt△AA1B中， AA1=1，AB=2， sin∠ABA1= = AB2AB

1

， ∴∠ABA1= 30°．故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．(Ⅱ) ∵BB1⊥α， ∴平2

面ABB1⊥α．在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB， ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=2． ∴Rt△AA1B中，A1B=AB2－AA12 AA1·A1B1×33=4－1 = 3． 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F= = = ，∴在Rt△A1EF中，

AB22sin∠A1FE =

A1E66

= ， ∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin ． A1F33

?★题7．(上海卷)在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（1）求四棱锥P－ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． [解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.

在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23.

∴四棱锥P-ABCD的体积V=

?1×23×3=2.（2）：取AB的中点F,连接EF、DF. 36.在正2由E是PB的中点,得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)，在Rt

1△POA中，6PA=6，则EF=△AOB中AO=ABcos30°=3=OP，于是, 在等腰RtEF△ABD和正△PBD中,DE=DF=3， cos∠FED=2所成角的大小是arccos

题8．(上海卷)在直三棱柱ABC?ABC中，?ABC?90?,AB?BC?1. （1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；

2. 42?4=∴异面直线DE与PADE34ABCS所成角为45，求三棱锥A1?ABC的体积。 （2）若AC1与平面

解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线B1C1与AC所成角为45°. (2) ∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°. ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=2,∴AA1=2.∴三棱锥A1-ABC的体积V=

题9、（四川卷）如图，在长方体ABCD?AE,P分别是BC,A1D1的中点，M,N1BC11D1中，

?16S△ABC×AA1=. 32MN//面ADD1A1； 分别是AE,CD1的中点，AD?AA1?a,AB?2a（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求二面角P?AE?D的大小；（Ⅲ）求三棱锥

P?DEN的体积。

解：（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连结MK,NK ∵M,N,K分别为AK,CD1,CD的中点

∵