第15届WMO世界数学奥林匹克竞赛九年级数学复赛试题A卷(带答案)

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第15届WMO世界数学奥林匹克竞赛九年级数学复赛试题A卷（带答

案）

第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛

--------------------------------------------------------------------------------- 考生须知： 1. 每位考生将获得一份试卷。考试期间，不得使用计算工具或手机。 2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。 3. 请将答案写在本卷上。考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。 4. 若计算结果是分数，请化至最简。 九年级地方晋级赛复赛A卷 （本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1． 用科学记数法可以表示为（ ） A．8×10-1 B．8×10-2 C．2.3×10-1 D．2.3×10-2 2．如图，O为线段AB的中点，AB=4cm，P1、P2、P3、P4到点O的距离分别是1cm、2cm、 2.8cm、1.7cm，下列四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是（ ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 第2题图 第3题图 第4题图 3．如图，圆上有A、B、C三点，直线l与圆相切于点A，CD平分∠ACB，且与l交于点D， 若⌒AB =80°，⌒BC =60°，则∠ADC的度数为（ ） A．80° B．85° C．90° D．95° 4．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD=90°， CO=CD．若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（ ） A．（2，2） B．（2，4） C．（2 ，2 ） D．（4，2） 5．方程组 的解的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若等式 （a、b为常数）成立，则a、b的值为（ ） A．a=4，b=－3 B．a=2，b=－1 C．a=－1，b=1 D．a=－1，b=2 7．小梦每周有100元零用钱，一小块巧克力3元，一根棒棒糖2元．小梦的幸福值可以用公 式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示，则小梦一个月可达到的幸福值最高为（ ） A．300 B．405 C．416 D．450 8．如图，矩形台球桌ABCD，其中A、B、C、D处有球洞，已知DE=4， CE=2，BC= ，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD 三次反弹后回到E点，则关于tanα的说法下列正确的是（ ） A． ≤tanα＜ B． ＜tanα＜ C．tanα= D． ＜tanα＜3 9．如图，已知反比例函数y= 的

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图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直 角边AB相交于C，连结AD、OC，若△ABO的周长为4+2 ，AD=2， 则△ACO的面积为（ ） A． B． C．1 D．2 10．将直线l1：y=x和直线l2：y=2x+1及x轴围成的三角形面积记为S1，直线l2：y=2x+1和 直线l3：y=3x+2及x轴围成的三角形面积记为S2，…，以此类推，直线ln：y=nx+n－1 和直线ln+1：y=（n+1）x+n及x轴围成的三角形面积记为Sn，记W=S1+S2+…+Sn，当n 越来越大时，你猜想W最接近的常数是（ ） A． B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共30分） 11．已知a2－5a－1=0，则5（1+2a）－2a2=___________． 12．宜君手上有24张卡片，其中12张卡片作上“O”记号，另外12张卡片作上“X”记号． 右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形，且她打算从手上剩下的卡片中抽出一 张卡片，若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等，则她抽出记号为“O” 的卡片的概率是___________． 13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是经过A点的一条直线，且B、C在AD 的两侧，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于点F，CE=10，BD=4，则DE的长为_________． 第13题图 第14题图 第16题图 14．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动 滚动，直到半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度为 ． 15．正数m，n满足m+ +4n=3，则 的值为 ． 16．已知正方形ABCD的边长为5，点E在BC边上运动，点G是DE的中点，EG绕点E顺 时针旋转90°得到EF，当CE= 时，点A、C、F在一条直线上． 三、解答题（共5小题，共50分） 17．解不等式： （8分）

18．如果有理数m可以表示成2x2－6xy+5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”．那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗？请证明．（9分）

19．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例 相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的 ，上、下边衬等宽，左、右边 衬等宽，应如何

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设计四周边衬的宽度．（结果精确到0.1cm，参考数据 ≈2.236）（10分）

20．如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若 显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D 为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C 在OB的延长线上，且BC=12cm． （1）当PA=45cm时，求PC的长；（5分）

（2）若∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的 长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，参考数据： ≈1.414， ≈1.732） （5分）

21．已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，0），且与y轴交于点（0，1），B点坐标为（2，2）， 点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左 侧）． （1）求此二次函数的表达式；（3分） （2）当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发 生变化，求出弦MN的长；（4分） （3）当△ABM与△ABN相似时，求出M点的坐标．（6分）