文科数学试题
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求.
1.若复数z满足(3A.
4i)z|445i C.
3i|，则共轭复数z的虚部为（ C ）
45x10 B.0 D.
D.
45
i B.
45
2.命题“任意
x
0，都有ex
xx
0”的否定是（ B ）
存在
xC.任意x
A.任意
0，都有e0，都有e
2
x1x1116
xx
0，使得e
xx
x1x1
00
存在
0，使得e
1.抛物线yA.(0,
4x的焦点为（ A ）
(
2
116
) B.
,0) C.
2
(0,1) D.(1,0)
2.下列说法正确的是（A.设m是实数，若B.“p
D ）
xy2
m1
q为真命题”
0,则x
m
是“pq为真命题”的充分不必要条件
1表示椭圆，则m(1,2)
C.命题“若xy
0”的否定为“若xy
f'(x0)
x
2
0,则xy
2
0”
D.命题“若x0为f(x)的极值点，则3.已知左、右焦点分别为满足
0”的逆否命题是真命题36
1上的一点P，
F1，F2的双曲线
64
|PF1|17,则|PF2|（ B ）
A.1 B.33 C.1或33 D.1或11 4.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（C ） A.9 B.10 C.11 D.12 5.已知条件p:2A.充分不必要条件
x
1,条件q:log2x
B.
0则p是q的（B）
C.
充要条件
必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)的导函数为A.-1 B.1 C.-2 D.2 7.设曲线f(x)于（ C ）A.
f'(x)，f(x)x
2
2xf'(1)
lnx，则f(1)等于（ A ）
10垂直，则实数
a等
1cosxsinx12
在点(
3
,3)处的切线与直线
xay
12
B.
C.-2 D.2
R)的导函数，f(1)0，当x0时，xf'(x)f(x)0，则使得xf(x)0成立的x的取值范围为（ B ）A.(B.(1,0)(0,1)C.(1,1)(0,1)，0)(1,)D.(,1)(1,)
8.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x9.正方形ABCD的四个顶点都在椭圆外部，则椭圆的离心率的取值范围是（
xa
22
yb
22
1(a
b
0)上，若椭圆的焦点在正方形的
D ）
315151
A.(0,) B.1) C.) D.1)(，(0,(，
2222
3
10.函数f(x)ax3x1对于x[1,1]总有f(x)0成立，则a的取值范围为（ C ）A.[2,) B.[4,) C.{4} D.[2,4]
31
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)14.观察下列式子：1猜测：1
3sinx(x3)e，则f'(0)12
2
xx
-1 .
32
1
,1
2
12
2
1
2
5
12
2
13
2
2
3340392020
,1
12
2
13
2
14
2
74
,根据以上式子可以
.
2020
15.设P是抛物线C:y
2x上的一个动点，
722xln
.
F是抛物线C的焦点,若B(3,2)，则
|PB||PF|的最小值为
16.已知函数f(x)
x
3
x1x1
，若f（a1）f(2a)
2
0,则实数a的取值范围是
[1,
22
） .
三、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步
骤.
17.(本小题满分10分) 已知命题p:x围.
解：由p:x由q:
2
2
ax
xa.命题q:xa.得到(x
x5x3
2,若p是
q的必要条件，求实数a的取值范
axa)(x1)
0，记解集为A
xx
53
2,解得1
x3，记B[1,3).又因为p是q的必要条件，所以
[a,1].
p是q的
A是B的子集
当a1时，B{1}.当a1时，B
充分条件，即所以
[1,a].当a1时，B
a1或
a1a3
或
a1a
，解得
1a3，故a的取值范围为[1,3)
18.(本小题满分12分) 已知命题
p:xR,e
x
mx0,命题q:
e
x
x
R,x
2
mx10，若p
e
x
q为真命题且
p
解
q为假命题，求实数
：
由
m的取值范围. 0,
可
x
e
x
x
mx
x
得
m
x
，x0
，设
f(x)
x
，x0，
则
f'(x)
xee
2
(x1)e
2
x
0，即函数f(x)在(0,1)和(
的值域即m的取值范围为(,0)[e,)
0x1或x
x
0时f'(x)
，当x
1时f'(x)
0，即函数f(x)在(1,)上是增函数，当
,0)上是减函数，所以函数f(x)
m[0,e)
所以p为真命题时，可得当q为真命题时，有
mm
2
(4
,0)0,即
[e,).p为假命题时，可得
2m2.q为假命题时，m2或m2
若pq为真命题且p,2)
[0,2]
[e,
)
q为假命题即
mm
0或m2或m
e2
或
02
mem
2
可得
m(
19.(本小题满分12分) 已知点F(0,1)，点A(x,y)(y足|AF||AB|1.(1)求曲线(2)直线求直线
0)为曲线C上的动点，过
A作x轴的垂线，垂足为B，满
C的方程；
POQ(O为坐标原点)的面积为22，
2
l过点F，且与曲线C交于P,Q两点，若
x
2
l的方程.
(y1)
2
解：（1）由|AF||AB|1.得（2）因直线
|y|1化简得曲线C的方程为x
y
kx1，由
4y.
y得
l过点F(0,1)，设所求直线方程为
0，
yx
2
kx14y
，消去
x
2
4kx4
设
P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
12
|OF||x1
x1x2
4k4
2
x1x2
，
|x1x2|
16k
2
16，所以
POQ的面积x1.
S
x2|22解得k
1，即k1.直线l的方程为y
20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)(1)求a,b的值(2)当
alnx
b(x1)x
，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y2.
x
0且x1时，求证：f(x)
alnx
y1b(x1)x
(x1)lnxx1
的导数为
.
解：（1）函数f(x)f'(x)
ab
2
点(1,f(1))处的切线方程为（2）由（1）知f(x)当
2可得f(1)1，x
0,
2b
x
2,f'(1)xab
,x
0，由曲线y0解得a
f(x)在
b1
lnx
x
1x
1时，f(x)
2lnx
0.
x
(x1)lnxx1
，即为lnx
1x
1
(x1)lnxx1
lnx
2lnxx1
，即
x
当
0x1时，f(x)
x
1x
(x1)lnxx1
，即为x
1
1x
1x
2
2lnx2x
0.
2
设g(x)递增，当
2lnx,x0.g'(x)
(x1)x
2
0,可得g(x)在（0，
）上
x1时，g(x)g(1)0，即有f(x)
(x1)lnxx1
.当0
x1时，g(x)
(x1)lnxx1
g(1)
0,
即有f(x)
(x1)lnxx1
.综上可得，当x
0且x1时，f(x)
成立.
21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)
2alnx,ax
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）求函数f(x)在[1,（3）若
2
R.
a0，求使方程
)上的最小值g(a)；
f(x)2ax有唯一解的a的值.
)，f'(x)
2x
2ax)上是增函数
2(x
2
解：（1）f(x)定义域为(0,所以当
a)
.当
x
a0时f'(x)
a，令f'(x)
0，则f(x)在(0,0则x
a0时，令f'(x)0则)
0x
a.所以f(x)在(0,a)上是减函数，f(x)在(a，
)上是增函数，所以g(a)
上是增函数. （2）由（1）可知当当即即
a0时，f(x)在[1,
f(x)min
f(1)1；
a
1时，1时，
a0
0时f(x)在(0,a)上是减函数，f(x)在(a，a1，则f(x)在[1,
)上是增函数，所以g(a)
)上是增函数.若0
f(x)min1,a1
f(1)1；若a
a1，则f(x)在(1,a)上是减函数，f(x)在(a，
f(x)min
f(a)f(x)2ax4a
2ax2x(x
2
)上是增函数，所以
g(a)aalna；综上g(a)x2ax2ax
aalna,a1
h(x)
0唯一解，又
0得0唯0.
（3）令h(x)
2alnx，由题可知，方程
)，且a
h'(x)x0
a
2xa
2a
2
a)，定义域为(0,0.令h'(x)
2
，所以h(x)在(0,x0)上递减，f(x)在(x0，
)上递增.因h(x)
一解，所以h(x0)设g(x)
0，由
h(x0)h'(x0)
00
，即
x
2
0
2alnx0x
20
2ax0a
0
0
ax0
得2lnx0x01
2lnxx0
1
22
x1，可知g(x)在(0,0的解为x0
2
)上是增函数，且g(1)
2
0.所以方程
2lnx01，即
aa4a
2
22
1，解得a
12
o
22.(本小题满分12分) 已知椭圆C:
xa
yb3
2
1(a
.
b
0)的离心率为
，过左焦点且倾斜角为
45的直线被椭
圆截得的弦长为
42
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，过点
M(1,0)作l的垂线，垂足为Q，求点22
Q的轨迹方程.
解：（1）因椭圆以设为
C的离心率为
22
22
所以
a
2
b
2
a
.解得a
2
2b，故椭圆的方程可
45的直线方
o
2
x
22
y
2bb程为l':yxb
1，则椭圆的左焦点坐标为
(b,0)，过左焦点且倾斜角为
x
设直线
22
y
22
l'与椭圆的交点为
4b3y
2
A(x1,y1)，B(x2,y2)联立
2bybxbb
1消去y得3x2
4bx0
解得x1圆方程为
0,x2x
2
.因为|AB|
11|x1
2
x2|
423
423
，解得
b1，所以椭
2
1
x
2
（2）当切线得(2k
22
l的斜率存在且不为
4kmx4(2k
2
0时，设l的方程为ykxm，联立
2ykx
y
2
1消去m
y
1)x2
2
2m21)(2m
2
22)
0，因为直线
l与椭圆C有且只有一个公共点，所以
2
16km0化简整理得m
1km)
2
2k
2
1
y
kxm
解得1
(x1)k
(1k)(1m)(1k)
222
2
因为直线MQ与l垂直，所以MQ的方程为y(x1)联立方程组
y
xy
1km
2
1k，所以xkm
2
1k2
2
y
2
(1km)
2
(k
22
km
22
k
2
m
22
2
1
(1k)
2
(1k)
2
1m1k
2
.将m
2
2k
2
1带入上式得x
y2
当切线斜率为
0时，此时Q(1,1)或(1,1)符合上式
当切线斜率不存在时此时综上点Q的轨迹方程为
Q(2,0)或(x
2
2,0)符合上式
y
2
2
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