小波分析在图像去噪中的应用

重庆交通大学2012届毕业论文

摘 要

图像在采集、获取以及传输的过程中，往往要受到噪声的污染，被噪声污染了的图像叫做含噪图像。噪声是影响图像质量的主要因素，极大影响了人们从图像中提取信息，因此，非常有必要在分析和利用图像之前消除噪声。

小波分析是局部化时频分析，它用时域和频域的联合表示信号的特征，是分析非平稳信号的有力工具，它通过伸缩、平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析，能有效地从信号中提取信息。不仅能满足各种去噪要求，如低通、高通、陷波、随机噪音的去除等，而且与传统的去噪方法相比较，有着无可比拟的其他优点，成为信号分析的一个强有力的工具，被誉为分析信号的“数学显微镜”。小波分析是目前国际公认的信号与信息处理领域的高新技术，是信号处理的前沿课题和研究热点，在信号滤波、图像去噪等领域的应用愈来愈受到人们的重视。

本文对小波分析图像去嗓方法进行了较深入地研究。主要工作如下:

1．综合阐述了小波去噪的研究历史及现状，以及开展小波去噪研究的意义。 2．详细介绍了小波分析的基础理论，阐述了连续小波变换、离散小波变换、二进小波变换、多分辨率分析和多小波变换以及图像小波变换的基础理论知识。

3．开展小波变换去噪的算法改进的研究。给出了改进的阈值函数算法，并进行了仿真实验的验证。

关键词：小波分析，图像去噪，小波收缩

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窦乾坤：小波分析在图像去噪中的应用

Abstract

The image is often corrupted by the noise in its collection,acquisition or transmission，the corrupted image is called the noisy image．Because the noise is themain factor that influenced the image quality and greatly affected to extract theinformation from it，it must be removed before it can be analyzed and utilized。

Wavelet analysis is the local analysis in the time domain and fiequency domain，and which represents the signal property using combination of the time domain andfrequency domain．It is a useful tool to analyze the unstationary signal that implementsmultiscale analysis to the signal by the translation and dilation of the mother wavelet．So it can effectively extract the information from the signal．it can fulfill different kinds of the filtering need such as low—pass，high—pass，sink wave，random noise denoising'．Compared with the traditional denoising methods，wavelet has the incomparable advantage．It has become the effective analysis tool and is known as the math microscope of the signal analysis．At present，wavelet analysis is an international acknowledged advanced technology in the domain of the information and signal processing．Meanwhile it is the front question for the discussion and study hotspot attached the more and more importance to people in the domain such as signal filtering,image denoising，etc．

Thjs article takes the wavelet analysis image denoising as a key point．Main work as follows：

1．ne syntheses elaborated the wavelet denoising research history and the present situation,as well development wavelet denoising and genetic algorithm research significance. 2．Introducing the wavelet analysis basic theory,elaborated the continual wavelet transformation，the separate wavelet transformation，the binary wavelet transformation，the multi-resolution analysis and the multi—wavelet transformation as well as image wavelet transformation basic theory knowledge

3．Developing the improvement research of wavelet transformation denoising algorithm．Proposing the improvement threshold function has conducted the research to the threshold of the multi·criterion threshold denoising method，and has carried on the confirmation of simulation experiment．

Keywords： Wavelet analysis，Iage denoising，Wavelet contracts

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重庆交通大学2012届毕业论文

第一章 引言

小波分析是80年代后期发展起来的应用数学分支，是继Fourier分析的一个突破性进展，它给信号处理领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视[1]。它既包含有丰富的数学理论又是工程应用中强有力的方法和工具。小波分析的发展推动着许多其它学科和领域的发展，使得其本身具有了多学科相互结合、相互渗透的特点。探讨小波的新理论、新方法以及新应用成为当前数学界和工程界的一个非常活跃和富有挑战性的研究领域。

从数学角度看，小波分析属于调和分析的范畴，用于把某一函数在特定空间内按照小波基展开和逼近：从工程角度去看，小波分析是一种信号与信息处理的工具，是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法[2]。小波变换作为一种新的多分辨分析方法，可同时进行时域和频域分析，具有时频局部化和多分辨特性。

小波分析是由Fourier分析发展起来的一个新的数学方法，它利用小波基取代传统的三角函数基，从而对函数进行分解与融合，由于这样的基简单(一维时它是由一个函数经平移与伸缩而得到的)，性质好(充分光滑，快速衰减，具有振动，状如小波)，它能为理论与应用的许多分支提供对函数进行分析的更方便的工具。与Fourier变换、窗口Fourier变换(Gabor变换)相比，它是一个时间与频率的局域变换。因而能有效从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度分析(Muitiscale Analysis)解决了Fourier交换不能解决的许多困难问题。 1.1小波分析的发展回顾

小波概念的真正出现应是1984年，法国地球物理学家J．Morlet等在研究地震信号时首次提出，之后他又与A Grossmann一起，建立了连续小波交换的几何体系。1985年， Y．Meyerf同A．Grossmann及I．Daubeehies一起共同研究，得到了一组离散的小波基(称为小波框架)，且根据小波框架的离散子集函数，恢复了连续小波函数的全空间。1986年Meyer证明了确实存在正交的小波基。稍后Lemarie和Battle又分别独立地构造了具有指数衰减的正交小波函数。1987年，Mallat将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出多分辨率分析概念，统一了在此之前的各种具体正交小波基的构造，并且提出相应的分解与重构快速算法。这是小波理论突破性的成果，其作用和地位与Fourier分析的FFT相当。1988年，Daubecies建立紧支集的小波

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窦乾坤：小波分析在图像去噪中的应用

及小波框架的基本理论，并且在小波专题研讨会上作了十次演讲 。后来著名的《小波十讲》引起各行业众多人士的关注，从此在全球掀起了小波分析与应用的热潮。 1989年，随着小波理论的进一步发展，Mallat提出了实现小波变换的快速算法一Mallat塔式算法，他的地位相当于Fourier变换中的FFT。1990年，崔锦泰和王建忠构建了基于样条的单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化的尺度函数和小波函数，与此同时，Wickerhauser和Coifinan的等人通过对母小波函数进行伸缩、平移和调制运算，提出了小波包的概念，并将Mallat算法进一步深化，得到了小波包算法。 通常，小波函数，可由一个特殊的L2(R)中函数(称为母函数)经过二进平移和伸缩而得到，这样的小波称为第一代小波。除了Donoho外，第一代小波的构造方法主要依赖于Fourier变换。其中的原因是，平移和伸缩是Fourier域中的代数运算。

事实上，八十年代早期，Stromberg用基于样条插值的方法发现了第一个正交小波，该方法并不依赖于Fourier变换。到了九十年代中期，Sweldens和Daubechies等学者提出了第二代小波的构造方法?一提升方法(Lifting Scheme)，即这样的小波未必是母小波的互相平移和伸缩，但仍具有第一代小波的所有优良性质，它还可以定义在R的任意区域上，如某一曲面上。提升方法是构造第二代小波的简单而相当有效的工具。 近年来，小波理论得到了进一步的发展，人们构造出同时具有多种优良性质的小波，1994年，Goodman等人提出基于R元的多分辨分析，建立了多小波的基本理论框架：并给出了样条多小波例子[3]。同年，Geronimo，Hardin和Massopust利用分形插值，成功的构造了具有短支撑集、正交、对称和二阶消失矩的两个尺度的向量函数：1993年，Stefen P．和Heller P．N．等人构造了M一带小波，1992年，Donoho给出了插值小波和小波变换等。除此以外，也从另外一个角度放宽正交小波基的条件。去研究更一般的非正交向量族，如框架等。1992年，Vaidyanathan EP，2VetterliM．，HerleyC．以及Stran913．等发展了滤波器理论，r(R)中的小波基可以由递归滤波器组得到。1996年，UnserM．，Therenaz E和Aldroubi A从样条函数出发构造了一组平移正交小波基等，使得小波理论不断完善[4]。

在小波理论迅速发展的同时，小波的应用研究也在数学、信号处理和图像处理领域不断地展开。其应用范围包括信号分析、图像处理、电子对抗、计算机识别、地震勘探数据处理、纹理分析、边缘检测、音乐与语音人工合成、机械故障诊断等多个方面。例如，在数学方面已用于数值分析、盟线曲面构造、微分方程求解、控制论等；在信号分析方面已用于信号的分解与重构、去噪、滤波等。

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