小波分析在图像去噪中的应用

重庆交通大学2012届毕业论文

1.2 小波图像去噪的研究现状

图像去噪是一个古老的话题，对它的研究已经持续了很多年，至今仍受到国内外广泛学者的重视。图像去噪的目的就是去除噪声影响的同时尽可能地多保留原始图像的原有有用信息在所处理的图像中，相邻象素的灰度间大多具有一定的相关性。因为这种空间灰度相关性的存在，一般图像的能量主要集中在图像的低频区域中，而图像的细节部分集中在高频区域。由于在图像的获取、数字化和传输中常伴有噪声出现，而这部分干扰信息主要集中在高频区域内，所以消除噪声的一般方法是利用空域中图像象素点的相关线性和非线性变换、频域内的低通滤波来衰减噪声图像的高频分量。但与之同时带来的负面影响就是经过处理后的图像的细节也有一定的衰减，从视觉效果上来看图像比处理前模糊。一个较好的去噪方法应该是既能消去噪声对图像的影响，又不使图像细节变模糊。

图像去噪是图像处理过程中一个非常重要的研究领域，人们根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律研究了各种去噪方法．其中最为直观的方法是根据噪声能量一般集中于高频，而图像频谱则分布在一个有限区间的这一特点，采用低通滤波方式来去噪．低通滤波在消除图像噪声的同时，也会消除图像部分有用的高频信息．因此，各种图像去噪方法，其实就是在去噪和保留有用高频信息之间进行权衡。

早期，传统去噪方法有低通滤波器法，主要包括线性滤波、中值滤波以及自适应滤波三种，它们主要是基于对模板的考虑。其他方法还有基于秩一阶滤波(排序量)的方法，基于马尔科夫场模型和基于偏微分 ((PDE)PartialDifferentialEquation)的方法以及Lp正则化方法等。

由于小波具有低墒性、多分辨率、去相关性、选基灵活性等特点，小波理论在去噪领域受到了许多学者的重视，并获得了良好的效果。利用小波对含噪信号进行处理，可有效地滤除噪声，保留信号高频信息，得到对原信号的最佳恢复。

目前，基于小波分析的图像去噪技术已成为图像去噪的一个重要方法[5]。从数学上看，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在由小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的最佳逼近，以完成原信号和噪声信号的区分。由此可见，小波去噪方法也就是寻找从实际信号空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原信号的最佳恢复。从信号分析的角度看，小波去噪是一个信号滤波问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在

3

窦乾坤：小波分析在图像去噪中的应用

去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。所以，小波去噪实际上是特征提取和低通滤波功能的综合。

Mallat提出利用小波变换模极大值原理进行信号去噪的方法，这是小波去噪的最经典的方法。Mallat通过对小波系数的模极大值处理之后，在小波变换域内去除了由噪声对应的模极大值点，仅保留了由真实信号所对应的模极大值点，然而仅仅利用这有限的模极大值点进行信号重构，误差是很大的[6]。因此，基于模极大值原理进行信号去噪时，存在一个由模极大值值点重构小波系数问题。MaUat提出交替投影方法，较好的解决了这个问题。然而，交替投影方法计算量很大，需要通过迭代实现，有时还不稳定。

Xu等人提出了基于小波变换域内相邻尺度间系数相关性的去噪方法。Donoho等人则提出了小波域软阈值和硬阈值去噪方法。其中，软硬阈值去噪方法由于算法简单、效果好而得到广泛运用。但是，正如Coifman和Donoho所指出的，这种方法处理后的图像中有些地方会出现振荡。出现这种现象的原因是，在阈值处理过程中，把一些不应忽视的系数置零了。针对这个问题，他们提出了一种平移不变的去噪方法，取得了较单独使用软阈值或硬阈值方法更好的效果。近几年，又出现了几种新方法，比如有人根据小波系数的统计性质建立各种先验模型，对小波系数的收缩自适应变化，也就是每个小波系数所采用的阈值都各不相同[7]。原图像小波系数的方差估计采用局部邻域估计，代表方法有AdaptBayesShrink方法，LAWMLSbrink方法等．还有一些方法利用了小波系数层内的相关性，比如Cai和Silverman等人提出的NeighCoeff和NeiighBlock方法，都将待处理的小波系数置于由它周围的系数所组成的方窗内，由窗内所有系数共同决定该系数的处理。在此基础上，G．Y．Chen等人提出了NeighShrink方法，根据邻域窗口内所有小波系数的平方和的大小来决定阈值和收缩函数。实验显示这种基于邻域系数估计阈值的方法在保留图像细节方面有一定的优势[8]。

总之，最近几年来有关小波去噪的文献非常多，己取得了不少好的结果，不仅将大大拓宽小波去噪方法的应用领域，而且在推动这些领域研究发展的同时，必将从这些领域的应用中反馈新的问题，从而会进一步丰富小波去噪的内容和推动小波去噪的发展。

1.3本文所做的工作

本文主要研究的是基于小波分析的图像去噪问题，比较深入的研究了小波去噪中不同门限和滤波器性能分析，并对小波阈值函数进行改进。

第一章为概论，介绍了小波去嗓的发展，以及小波图像去噪的研究现状。

4

重庆交通大学2012届毕业论文

第二章主要介绍了小波分析的基础理论知识，包括连续小波变换，离散小波变换，二进制小波变换，多分辨率分析以及多小波变换的定义、性质和多小波的构造。

第三章主要对小波去噪的方法改进，包括小波阈值去噪法。

第四章是全文总结和展望，总括了全文的研究内容和创新点，并对今后的工作进行了展望。

5

窦乾坤：小波分析在图像去噪中的应用

第二章 小波分析的基础理论

2.1引言

本章简要回顾小波、多分辨分析和多小波等一些重要的基本概念，以及近年来小波

理论取得的基本结果。它们是本文工作的基础。经典的傅立叶变换不能同时进行时域和频域的分析。因为信号经过傅立叶变换后，时域的信息不存在，时间特性消失，只能进行频域信息的分析。为了克服经典傅立叶的缺陷，后来引入了小波分析。 小波变换克服了傅立叶变换的缺陷，具有时一频二维分辨的特点，并且它具有时域和频域“变焦距”的特性，因此十分有利于对信号的精细分析。小波变换采用的是一种窗口大小(即窗口面积)固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法，很好地解决了时间分辨率和频率分辨率的矛盾，在时间域和频率域里都具有很好的局部化性质。对信号中的低频成分，采用宽的时间窗，得到高的频率分辨率；对信号中的高频成分，采用窄的时间窗，得到低的频率分辨率。小波变换这种对信号的自适应特性，使它在工程技术和信号处理方面获得广泛应用。小波变换继承和发展了短时Fouder变换的局部化思想，同时克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基等缺点，是比较理想的对非平稳信号进行局部时频分析的有力工具。

本章主要讨论了小波分析的基本理论，包括：连续小波变换、离散小波交换、二进小波变换、多分辨率分析、多小波变换和图像的小波变换。 2.2小波变换基本理论

2.2.1连续小波变换(OWT) (1)连续小波基函数

小波就是空间L2?R?中满足下述条件的函数或者信号??t?

2 ???t?dt?? （1）

rCv??????r2?d???

（2）

这时，??t?也称为小波母函数，第二公式称为容许性条件[11]。

根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点；另一方面，根据可容许性条件可知?????o?0 即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。 小波函数要满足的条件：

6