小波分析在图像去噪中的应用

重庆交通大学2012届毕业论文

（1） 紧支撑性(Compact support)，即在一个很小的区域之外函数均为零，函数具

有速降特性。

（2） 平均值为零，即：

? ???t?dt?0??

（3）

而且其高级矩阵也为零：

?

???t?k?t?d?t0 K=0,1,2,3，…N-1 （4）

将小波母函数??t?进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a，平移因子为?，并记平移伸缩后的函数为??t?,??t?，则

1 ?a,??t??a?2t??a,a?0,??R

（5）

并称??t?,??t?为参数为a和f的小波基函数。由于a和f均取连续变换的值，因此又称之为连续小波基函数，它们是由同一母函数护??t? 经伸缩和平移后得到的一组函数系列。 (2)连续小波变换

将任意L2?R? 空间中的函数f?t?自在小波基下进行展开，称这种展开为函数f?t?的连续小波变换(Continue Wavelet Transform，简记为CWT)，其表达式为

WTf?a,????f?t?,?a,??t???1a?1???f?t????dt?a?

?R

（6）

由CWT的定义可知，小波基具有尺度a、平移r两个参数，若a>l函数??t?具有伸展作用，若a

从定义可以看出小波变换是尺度参数a的函数和时间参数b，是一种时间—尺度分析。用镜头观测目标的例子可以形象的说明利用连续小波变换的时间—尺度特性分析信号的原理。令??t?代表镜头的作用，则??t?在尺度上的伸缩和时域上的平移与镜头相对于目标的远离、平行移动和推进是非常类似的。当尺度参数a增大时，?a、b(t)的时域宽度增大，相当于镜头远离目标，在远距离下观测目标(信号)概貌；当a固定时，

b的变化相当于使镜头相对于目标(信号)作平行移动，但和目标的距离保持不变；当尺

度参数a减小时，?a、b(t)的时域宽度变窄，相当于将镜头向目标推进，在近距离下观测目标(信号)的细节。

小波变换的时间—尺度特性，使它既可以对信号作整体的概貌描述，又可以对信号的局部特性进行细致的描述。

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（4）连续小波变换的时间—平率性

在容许条件的基础上，小波函数??t?在时域上是震荡的，其傅立叶变换?????在频域上是一个带通函数，而且??t?和?????分别在时域和频域上具有良好的局部性。设t*和?t分别表示

*??t?的中心位置和半径，?和??分别表示?????的中心频率和半径。可以证

明，,?a、b(t)的中心及半径分别为b?at*和a?t,??a、b(?)的中心和半径分别为?*/a和

??/a。这说明，当尺度a增大时，在时频上，?a、b(t)的宽度增大，小波变换的时频分

辨率降低，而在频域上，??a、b(?)的中心降低，宽度减小，小波变换的频域分辨率提高。也就是说，当尺度a较大时，小波变换以较高的频域分辨率和较低的时域分辨率来分析信号的低频分量。当尺度a减小时，在时域上，?a、b(t)的宽度减小，小波变换的时域分辨率提高，而在频域上，??a、b(?)的中心升高，宽度增大，小波变换的频域分辨率降低。也就是说，当尺度a较小时，小波变换以较高的时域分辨率和较低的频域分辨率来分析信号的高频分量。由此可以看出，小波变换可以自动调整时频分辨率，如图2.1所示。

?02?0

2?0 带宽

t1 窗 宽 t2

图2.1 小波函数的时间—频率窗结构图

当a固定而b发生变化时，?a、b(t)的中心在时域上平移，但其宽度不变，??a、b(?)的中心及半径均保持不变，因此，b的变化可以使我们在时频分辨率不变的情况下沿着时间轴观测信号的不同部分。

当分析高频信号时，希望时频分辨率较高；当分析低频信号时，希望频域分辨率较高。但一般的时频分析方法时频分辨率都是固定的，根据测不准原理，它们的时域分辨率和频域分辨率又不可能同时达到最好，二者的乘积有一个上限。小波变换多分辨率的特性正好在符合测不准原理的前提下满足信号分析的这一要求，这也是小波变

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换优于其它时频分析方法的原因。 2.2.2离散小波变换

在实际应用中，特别是在用计算机上分析处理时，需要将连续小波加以离散化，下面讨论一下连续小波, ?a、b(t)和连续小波变换

Wf(a,b)的离散化问题。需要指出的

是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续的平移参数b进行的，而不是针对时间变量b的。这一点与通常的时间离散化不同，应该引起注意[12]。

在连续小波中，考虑函数：

?a、b(t)?1a?t?b?? （7） a????这里，

a?R,a?0,?a、b(t)?是容许的，为了方便起见，在离散化中总限制a只取正

2值，这样容许条件就变为：

C????0??(?)?d??? （8）

ja?a0通常，把连续小波变换中尺度a和平移参数b的离散化公式分别取为，b?ka0b0ja?1a?1，这里j?Z，扩展步长0是固定值，且0。对应的离散化小波函

数,

?j、k(t)即可写成：

?j、k(t)?a?j/20?t?ka0jb0??j/2j????a0?(a0t?kb0) （9） ja0??而离散化小波变换系数则可以表示为：

Cj,k??????f(t)?j,k(t)dt?f,?j,k （10）

其重构公式为：

????j,kf(t)???C?????j,k(t) （11）

通常取

a0?2,b0?1jj，每个网格点对应的尺度为2，而平移为2k。由此得到小波：

?j,k(t)?2?j/2?(2t?k) j,k?Z (12)

?j对应的离散小波变换为：

WTf(j,k)?f,?j,k?2j/2?????f(t)?(2*j/2?k)dt (13)

2.3常用小波函数介绍

小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数?(t)具有多样性。除了可以使用已构造出来的小波基，人们还可以根据自己的需要，构造小波基。

下面我们介绍几种常见的小波。

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2.3.1 Haar小波

数学家A.Haar与1910年提出的Haar系hm,n(t)?2?m/2h(2?mt?n),(m,n?Z),Z为整数。Haar系是由母函数：

? 1 0?t?1/2?h(t)???1 1/2?t?1 （14）

?? 0 其他生成的。在同一尺度m上，基函数相互正交，而且很容易证明，不同尺度之间的基函数也是正交的，且hm,n构成了L2(R)上的完备标准正交基。但是Haar系的函数是不连续的，且它们在频域随?的衰减加速度为1/?，因此频域局部性差。这在许多实际应用中受到限制，但是由于它的结构简单，所以常用于理论研究。Haar小波函数图形如图2.2所示：

0 1

-1

0

0.5

图2.2 Haar小波形状图

1

2.3.2 Daubechies(dbN)小波

Daubechies函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies构造的小波函数，除了db1小波外，其它db小波都没有明确的表达式，但是转换函数h的平方模是很明确的。db小波具有以下一些基本性质：

N?1（1） 令P(y)??Ck?0N?1?kk为二项式的系数，则有：

m0(?)2?2????cos?2??2N?2??P?sin? （15）

2??式中，m0(?)?122N?1?k?0hke?jk?。

（2） 数?和尺度函数?的有效支撑长度为2N?1,小波函数?的消失矩阶数为

N。

（3） dbN大多数不具有对称性，有些小波函数不对称是非常明显的。 （4） 正则性随着序号N的增加而增加。

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