小波分析在图像去噪中的应用

重庆交通大学2012届毕业论文

（5） 函数具有正交性。。 2.3.3 Gaussian小波

这是高斯函数的一阶导数，在信号与图像的边缘提取中具有重要的应用。它的表达式为：

?(t)??其傅里叶变换为：

12?te?t22 (16)

?(?)?i?e ?2.3.4 Marr(mexihat)小波

它是Gauss函数的二阶导数形成的小波：

?(t)?其傅里叶变换为：

??(t)?224?323???22 (17)

可见高斯小波函数及其傅里叶变换具有同一函数形式。

(?1t2te)2/2 (18)

?e2??22 (19)

该小波在时域具有良好的局部化，适合图像边缘提取、视觉分析和基音检测等。 2.3.5 Mexican hat(Mexh)小波

因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数（如图2.3所示）。该函数满足小波允许条件和紧支性要求，在时间域和频率域都有很好的局部化，并且

满足??(t)d(t)?0。由于它不存在尺度函数，所以此小波函数不具

R有正交性。

图2.3 Mexh小波形状图

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2.4 多分辨分析

1986年S.Mallat和Y.Meyer提出多分辨率的概念，它将此前所有正交小波基的构造统一起来，使小波理论得到突破性发展。多分辨分析是从函数空间的高度研究函数的多分辨表示——将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分。而且，多分辨分析能够提供一种构造小波的统一框架，并且能够提供函数分解与重构的快速算法。S.Mallat在多分辨率分析理论的基础上，引入了一种计算离散珊格上小波变换的快速算法，即Mallat算法。 2.4.1 多分辨分析的空间剖分

把平方可积函数x(t)?L2(R)看成是某一逐级逼近的极限情况。每级逼近都是用某一低通平滑函数?(t)对x(t)作平滑的结果，并且逐级逼近时平滑函数?(t)也作逐级伸缩。这也就是用不同分辨率来逐级逼近x(t)。这正是“多分辨率”得名由来。空间L2(R)中的多分辨率分析是将L2(R)空间做逐级二分解产生一组逐级包含的子空间：

?,V0?V1?W1,V1?V2?W2,?Vj?Vj?1?Wj?1,?

若满足下列条件： j是从??到?的整数，j值越小空间越大。空间序列?Vj?j?Z（1） 单调性：??Vj?1?Vj?Vj?1??,?j?Z。

（2） 逼近性：?Vj??0?,?Vj?L2(R),这里用X表示集合X的闭包。

j?Zj?Z（3） 伸缩性：f(t)?Vj?f(2t)?Vj?1,?j?Z；伸缩性体现了尺度的变化、逼近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。

（4） 平移不变性：对?k?Z，有f(2?jt)?Vj?f(2?jt?k)?Vj。

（5） Riesz基存在性：存在低通的平滑函数2?j/2?(2?jt)?Vj，使得它的整数移位集合??j,k(t)?2?j/2?(2?j/2t?k),k?Z?构成Vj的一个Riesz基，即??j,k(t)k?Z?是线性无关的，且存在常数A与B，满足0?A?B??,且满足：

Af22?222??k???ck?Bf （20）

则?称为尺度函数，并称?生成L2(R)的一个多分辨分析?Vj?j?Z。若??(t?k)?k?Z构成V0的一个标准正交基，则称?为正交尺度函数，相应地称?生成L2(R)的一个正交多分辨分析?Vj?j?Z。

在多分辨分析中，随着逼近空间Vj的不同，尺度函数?也不同（常用具有紧支撑的函数），从而对应不同的多分辨分析，且必然存在系数序列?hk?k?Z，使得：

?(t)?2?hk?(2t?k) （21）

k这就是二尺度方程。其中hk?2??(2x?k)dx，它是一个低通滤波器系数。但是一般

????地，??j,k(t)?j,k?Z不是L2(R)的标准正交基。由正交多分辨分析中的单调性可知Vj?Vj?1，

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于是存在Vj在Vj?1中的正交补空间Wj，使得

Vj?1?Vj?Wj （22）

jk?lVj?1?Vl?Wk，上述空间正交分解可对逼近空间Vj递归进行下去，令j??，l?j。

j???，可得到L(R)的正交和分解：

2L(R)??Wjj???2?? （23）

上式表明，L2(R)是由无穷个正交补空间的直和构成的，而它的正交基就是反直和的子空间的正交基合并起来得到的，故L2(R)空间的标准正交基为：

?j/2?j2?(2t?k) j,k?Z （24） 而二进正交小波的函数形式为：

?k,n(t) = 2?k/2?(2t?n) k,n?Z （25）

?k所以，可称ψ为小波函数，相应的Wj是尺度为j的小波空间。另小波函数也可表示为： ?(t)?2?gk?(2t?k) （26）

k其中gk?(?1)kh1*?k（*表示对复数取共轭），它是一个高通滤波器系数。

由上可知，空间Vj与空间Wj正交，而各个Wj之间也正交。故可把频率空间如下剖分，先将原始x(t)占据的总频带(0??)定义为空间V0，经第一级分解后V0被分成两个子空间：低频的V1（频带0??/2）和高频的W1（频带?/2??）。经第二级分解后V1又被分解为低频的V2（频带0??/4）和高频的W2（频带?/4??/2）??其中高频带反映信号的细节，低频带反映信号的概貌，如图2.4所示

0 V3W3?/2 W2W1? V2 V1 V0 图2.4 多分辨分析的空间剖分

2.4.2 二尺度差分方程

二尺度差分方程阐明任意相邻空间剖分Vj?1?Vj与小波空间Wj间基函数

?j?1,k(t),?j,k(t)和?j,k(t)间的内在联系。

?(2t)??j2?h0k?(2k?(j?1)t?k) （27）

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?(2t)??j2?h1k?(2k?(j?1)t?k) （28）

就是二尺度差分方程，h0kh1k是线性组合的权重，可用下式来求，且它们的大小与j的具体值无关，无论对哪两个相邻级其值都相同。

h0k??10(t),?0k(t) （29） h1k??10(t),?0k(t) （30）

k且h0kh1k满足：?h0k?2 、 ?h1k?0 、 h1k?(?1)h0(1?k)

kk2.4.3 Mallat算法

假定已经计算出一函数或信号x(t)?L2(R)在分辨率a?2j下的离散逼近xkj，则x(t)在分辨率a?2j?1下的离散逼近xkj?1和离散细节信号dkj?1可通过式（31）（32）求得

xkj?1???hnn0(n?2k)jxn （31） jxn （32）

dkj?1?h1(n?2k)其二树结构如图2.5所示：

图2.5 小波分解结构图

xk

0h0 h1 xk d

1k1h0 h1 xk d

1k2

h1h0

xk d

1k3h0 h1 xk d

1k4h0 h1 ? ?

其中，h0表示与分析滤波器h0(?k)作卷积，然后进行二抽取。h1表示与分析滤波器气h1(?k)作卷积，然后进行二抽取。

如果己知信号f(t)在分辨率a?2j?1下的离散逼近xkj?1和离散细节信号dkj?1，则可以通过下式求出信号在分辨率a?2j下的离散逼近xkj。

xn?j?gnx0(n?2k)kj?1??g1(n?2k)dknj?1 （33）

其二分树结构图如图2.6所示：

0 xk

g0 g1

xk 1dk

1g0 g1 xk 2dk

2g0 g1 xk 3dk

3g0 g1 xk 4dk

4g0 g1 ? ?

图2.6 小波重构结构图

其中，g0,g1表示进行二次插值然后与综合滤波器g0k,g1k作卷积。

在图像处理中，图像是一个能量有限的二维函数f(x,y)?L2(R2)小波变换的概念可

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