小波分析在图像去噪中的应用

重庆交通大学2012届毕业论文

推广到二维空间.对于可分离的L2(R2)扩多分辨率空间，尺度函数变为:

?(x,y)??(x)?(y)

此时，矢量空间Wj分解成三个正交矢量子空间W1j,W2j,W3j，它们分别对应二维平面的三个方向:水平、垂直和45度或135度方向。

三个方向的二维小波函数为:

?1(x,y)??(x?)y( ) (34) ?2(x,y) (35) ??(x?)y( ) ?3(x,y)??(x?)y( )

(36)

多分辨率小波变换可以把图像分解到更低分辨率水平上，这一级的子图像由低频的轮廓信息和原信号在水平、垂直和对角线方向高频部分的细节信息组成.每一次分解均使得图像的分辨率变为原信号的1/2.对于二维离散小波变换，其分解公式为:

?j?j?j Ajf(x,y) ) (37) ?f(x,y),?2(?2x?n)?(2y m D(j1)f(x,y)? D(j D(jj?1f(x,y),?2f(x,y),?2f(x,y),?2?j?j?j?j(?2x?n)?(2y?j?j m ) (38)

2)f(x,y)??j(?2x?n)?(2y(?2x?n)?(2y?j m ) (39) m ) (40)

j3)f(x,y)?j?j 其中，A2df为原始图像，A2df为低一级分辨率的低频轮廓信息，(1)D2(1)f为垂直方向的高频信息，(2)D2(2)f为水平方向的高频细节信息，(3)D2(3)f为对角线方向的高频细

jj节信息[9]

经过二维小波变换，可以将原图像逐级分离成具有不同尺度的子图像。原图像经小波变换后生成四个分量部分:低频分量LL，保留了原图的大部分信息;高频分量LH, HL, HH均包含了边缘、区域轮廓等细节信息.此时还可以对LL进行第j级小波分解，以得到2j分辨率下的图像表示。实际图像的二级小波分解见图2.7，左图为一层小波分解示意图，右图为二层小波分解示意图[10]。

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图2.7 二级小波分解示意图

2.5本章小结

本章介绍了小波分析的基础理论和知识，包括连续小波变换，离散小波变换，二进小波变换，常用小波函数，多分辨率分析和多小波变换。 最后介绍了图像的小波变换的基础知识。。

本章为后续章节的图像去噪研究奠定了很好的理论基础。

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第三章 小波分析图像去噪

3.1引言

如何消除图像中的噪声是图像处理中古老的课题。长期以来，人们根据图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律，提出和发展了不同的去噪方法。图像去噪存在一个如何兼顾降低图像噪声和保留细节的难题。用滤波器对非平稳信号处理时不能有效地将信号高频和由噪声引起的高频干扰加以区分。具有“数字显微镜”之称的小波变换在时频域具有多分辨率的特性，可同时进行时频域的局部分析和灵活地对信号局部奇异特征进行提取以及时变滤波。利用小波对含噪信号进行处理时，可有效地达到滤除噪声和保留信号高频信息，得到对原信号的最佳恢复。目前，小波图像去噪方法已成为去噪的一个重要分支和主要研究方向，在过去的十多年，小波方法在信号和图像去噪方面的应用引起学者广泛的关注。 3.2 小波分析图像去噪的发展

小波图像去噪方法大体经过了5个阶段；

第一阶段早在1992年，Mallat提出奇异性检测的理论，从而可以利用小波变换模极大值的方法结合边缘检测来去除噪声。

第二阶段是小波图像萎缩法：将含噪信号做正交小波变换，然后对其系数进行阈值操作得到去噪信号。1992和1995年，Donoho等提出非线性小波变换阈值去噪法，James S．Walker提出自适应树小波萎缩法，去噪效果相当好。1995年，Coifman&Donoho在阈值法的基础上提出了平移不变量小波去噪法，它是对阈值法的一种改进。

第三阶段是多小波去噪法：1994年Geronimo，Harding&Massopug构造了著名的GHM多小波，它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷。

第四阶段是基于小波系数模型的去噪法：将小波与隐式马尔可夫、多尺度随机过程、上下文、Bayes等模型结合起束，可获得满意的去嗓效果。

第五阶段是最近提出的脊波、曲波去噪法。 3.3小波去噪的基本原理

在小波分析中，应用最广泛的无疑是信号处理和图象处理，而在这两个领域中，应用最多的是信号和图象的去噪，由于正交小波中，正交基的选取比传统方法更接近

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实际信号的本身，所以经过小波变换我们可以更容易地分离出噪声和其他我们不需要的信息，因此在这类应用中小波分析有着传统方法无可比拟的优势[13]。

基本降噪模型，如果想从一个信号f(n)被噪声污染后为s(n)，那么基本的噪声模型就可以表示为:

s(n)?f(n?)? ) e( n (41)

式中e(n)为噪声，?为噪声强度，在最简单的情况下可以假设e(n)为高斯白噪声，即??1。小波变换的目的就是要抑制e(n)以恢复f(n)。 3. 4小波阈值去噪法

小波阈值去噪法是斯坦福大学的Donoho和Johnstone教授于1992年提出的，它不同与传统的小波去噪方法，该方法是一种非线性去噪方法，在最小均方误差意义下可达近似最优[14]，并且可取得较好的视觉效果，因而得到了深入的研究和广泛的应用。小波阈值去噪方法是实现最简单、计算量最小的一种方法。其基本原理是:正交小波变换具有很强的去数据相关性，它能够使信号的能量在小波域集中在一些大的有限的系数中，而噪声的能量却分布于整个小波域内，因此，经小波分解后，信号的小波变换系数要大于噪声的小波变换系数，也即可以认为幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值较小的系数在很大程度上是噪声。于是可以找到一个合适的阈值，小波系数大于阈值的认为其是由信号控制的，而小于阈值的小波系数则由噪声控制，从而可以对由噪声引起的小波系数进行萎缩来去除噪声。在这种方法中，阈值的选取是其难点。对阈值的选取进行了讨论，最后编制程序，对仿真数据进行了去噪处理，取得了较好的效果。

令观察信号，如式(42):

x(n)?s(n?)u( n )

(42 )

式中，s(n)是有用的信号，u(n)是噪声序列。假定u(n)是零均值且服从高斯分布的随机序列，即服从N:(0,?u2)分布。对于(42)式两边做小波变换有，如式(43):

(a,b)? WTxWsT(a,?b)uWT( . a b (43)

即两个信号的小波变换等于各个信号小波变换的和.。再今u(n)是零均值、独立分布的平稳随机信号，记u?(u(0),u(1),u(2),?,u(N?1))T了，显然：

T E?uuI???n2? Q (44 )

式中，E?*?代表求均值运算，Q是u的斜方差矩阵[16]。

令W是小波变换矩阵，对于正交小波变换，它是正交阵。分别另X和S是对应x(n)和s(n)的向量，向量X，S和U分别是x(n)，s(n)和u(n)的小波变换。另P是U的协

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