例6 将平面上的每个点都染上红、蓝二色之一，证明：存在两个相似的三角形，其相似比为1995，且每一个三角形的三个顶点同色．(1995年全国联赛加试题)
分析 把相似三角形特殊化，变成证明相似的直角三角形，在矩形的网格中去找相似的直角三角形，这是证法1的
l思路．证法2
l1则是研究形状更特殊的直角三角形：含一直角三角形．证明可以找到任意边长的这于是对任意的相似比，本题均可证．证法3
PSR个角为30?的
Tl2Q样的三角形，则是考虑两
个同心圆上三条半径交圆得的三组对应点连出的两个三角形一定相似，于是只要考虑找同心圆上的同色点，而要得到3个同色点，只要任取5个只染了两种颜色的点就行；而要得到5个同色点，则只要取9个只染了两种颜色的点即行．
证明1 首先证明平面上一定存在三个顶点同色的直角三角形．
任取平面上的一条直线l，则直线l上必有两点同色．设此两点为P、Q，不妨设P、Q同着红色．过P、Q作直线l的垂线l1、l2，若l1或l2上有异于
P、Q的点着红色，则存在红色直角三角形．若l1、l2上除P、Q外均无红色
点，则在l1上任取异于P的两点R、S，则R、S必着蓝色，过R作l1的垂线交l2于T，则T必着蓝色．△RST即为三顶点同色的直角三角形．
下面再证明存在两个相似比为1995的相似的直角三角形． 设直角三角形ABC三顶点同色角)．把△ABC补成矩形ABCD(如的每边都分成n等分(n为正奇数，
CDA(∠B为直图)．把矩形
GHMNQE'F'EFBPn>1，本题中
第 - 6 - 页
取n=1995)．连结对边相应分点，把矩形ABCD分成n个小矩形．
2
AB边上的分点共有n+1个，由于n为奇数，故必存在其中两个相邻的分
点同色，(否则任两个相邻分点异色，则可得A、B异色)，不妨设相邻分点
E、F同色．考察E、F所在的小矩形的另两个顶点E、F，若E、F异色，则△EFE或△DFF为三个顶点同色的小直角三角形．若E、F同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形，…．这样依次考察过去，不妨设这一行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色．
同样，BC边上也存在两个相邻的顶点同色，设为P、Q，则考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形．否则，PQ所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色．
现考察EF所在行与PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都与N同色，△MNH为顶点同色的直角三角形．
由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比为1995，且这两个直角三角形的顶点分别同色．
证明2 首先证明：设a为任意正实数，2a的同色两点．任取一点O(设为红色点)，2a为半径作圆，若圆上有一个红点，则存的两个红点，若圆上没有红点，则任一圆
AFE存在距离为以O为圆心，
B在距离为2a内接六边形
CDABCDEF的六个顶点均为蓝色，但此六边形边长为2a．故存在距离为2a的两
个蓝色点．
下面证明：存在边长为a，3a，2a的直角三角形，其三个顶点同色．如
第 - 7 - 页
上证，存在距离为2a的同色两点A、B(设为红点)，以AB为直径作圆，并取圆内接六边形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一点为红色，则存在满足要求的红色三角形．若C、D、E、F为蓝色，则存在满足要求的蓝色三角形．
下面再证明本题：由上证知，存在边长为a，3a，2a及1995a，19953
a，19952a的两个同色三角形，满足要求．
证明3 以任一点O为圆心，a及1995a为半径作两个同心圆，在小圆上任取9点，其中必有5点同色，设为A、B、C、D、E，作射线OA、OB、OC、
OD、OE，交大圆于A，B，C，D，E，则此五点中必存在三点同色，
设为A、B、C．则ABC与ABC为满足要求的三角形．
情景再现
3．以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定存在一个矩形，它的四个顶点同色．
4．以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定可以找到无穷多个顶点全为同一种颜色的全等三角形．
5．图中是一个6×6的方格棋盘，现将部分1×1小方格涂成红色。如果随意划掉3行3列，都要使得剩下的方格中一定有一个是红色的，那么至少要涂多少个方格？
6．有两个同心圆，圆上的每个点都用红、蓝、黄三色之一染色．试证明：可以分别在每个圆上找到同色的三个点连成圆的内接三角形，且这两个三角形相似．
C类例题 例7 把平面上每个点都以红、黄两色之一着色．求证：一定存在一个
第 - 8 - 页
边长为1或3的正三角形，它的三个顶点是同色的．
分析 边长为1及3的三角形在半径为1的圆内接正六边形中出现，故应设法在这样的圆内接正六边形内找满足要求的三角形．以红点M为圆心，1为半径作圆，6等分此圆，若其中没有红点，则存在边长为3的黄顶点三角形，若有红点R，则与之相邻的两分点中有红点则有边长为1的红顶点三角形，若与R相邻的两分点均黄，则考虑直径RQ的另一端点Q，若为黄则可证．故应相距为2的两点R、Q，这样就可构造两难命题了．
证明：1?任取一染成红色的点P，以P为圆心，1为半径作圆，如果圆上及圆内的点都是红色，则存在边长为1及3的三角形，其三个顶点同为红色．
若圆上及圆内的点不全染成红色．则存在圆上或圆内一染成黄色的点Q，|PQ|≤1．作△PQR，使PR=QR=2，则R必与P、Q之一染色不同．设R与Q染色不同，即R染红色．
2?取QR中点M，则M必与Q、R之一同色．设
TRSM与R同色，即
同为红色．以RM=1为一边，作正三角形△RMS、△
RMT．若S、T中任一点染红，则存在边长为
三角形．若S、T都为黄色，则与Q组成边长顶点三角形．
说明 把问题归结为相距为2的异色两点． 例8 在一张100
PQ1的红色顶点为3的黄色
100的方格纸内，能否把数字0，1，2分别放在每一
4(及4
3)小方格构成的矩形
个小方格内(每格放一个数)，使得任意由3中都有3个0，4个1及5个2．
第 - 9 - 页
分析 3×4方格由4个3×1方格组成，因此研究这样的方格的可能填法．
证明 设存在这样的填法．两个图形中填入的0、1、2的个数如果完全相同，就称这两个图形是填法相同的图形．
1?现在研究图⑴中的4个3分)，由于它们都与中心的3
1或1
3
矩形(阴影部3
4矩形，若
3矩形组成
存在满足要求的填法时，它们的填法必相
2?对于任一3错一个1
同．
图1
比较两个只相3
4矩形，
n矩形(如图2中部)，
3矩形的两个
3矩形的
知，同色的1填法应相的．
形，如图2，
图2
中同色的
4矩形的
同．即染色是周期出现
题
3?现考虑1
12矩
根据⑴的结果可知，图213或3
1矩形的填法相同．于是每个112矩形应与一个3
填法相同．即图中一面的1
4?但1
12矩形含有4个13矩形，分别有4种颜色．
3矩形中填了2个2．不
12矩形的染色法知
12矩形中填了5个2，从而必有某个1
妨设黄色的13矩形中填了2个2．于是用下面的1
每个112矩形中至少有6个2．
由3?、4?矛盾，知这样的填法不存在．
情景再现
7．⑴设有4
28个小方格，给每个小方格都染上红、蓝、黄三种颜色
中的一种．试证明：至少存在一个矩形，它的四个角的小正方形同色．
第 - 10 - 页
相关推荐：
loading