立体几何中的向量方法三

§3.2立体几何中的向量方法（第三课时）

制卷人:王张建

学习目标：

（1） 会根据已知条件建立适当的空间直角坐标系；

（2） 会坐标法与向量法相结合证明空间平行与垂直问题； （3） 会坐标法与向量法相结合证明求点面距、面面距。 学习重点与难点：

（1） 会坐标法与向量法相结合证明空间平行与垂直问题； （2） 会坐标法与向量法相结合证明求点面距、面面距。 思想方法：坐标法 很多立体几何问题用几何法不太好处理,但通过建立适当的空

间直角坐标系，用三维坐标表示点，然后用向量法来处理,这种方法

会达到意想不到的效果。

题型一：坐标法与向量法相结合证明空间平行与垂直问题 基础知识回顾：

??? 法向量分别为 ， 。设直线l，m的方向向量分别为 ， ；平面 ， 的

?ab探究1：平行关系 自己画图如下 线线平行 线面平行

面面平行 探究2：垂直关系 线线垂直

l ?m?

线面垂直

? l ??

面面垂直 ?? ??

??uvl//m???l//???//??????例1：如图：在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形， P 侧棱PD?底面ABCD，PD?DC,点E是PC的中点，作

F EF?PB交PB于点F.

（1） 求证: PA//平面EDB （2） 求证: PB?平面EFD D A

变式1：

E C

B 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1P?QB，M,N分别为AB1、PQ的中点。求证：MN//平面ABCD.

变式2：

如图：正三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱长为1，底面边长为2.求证:AB1?BC1

A1 C1 B1

A

B

C

题型二：如何用向量法求点到平面的距离?

思想方法：点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上

?的投影长. 如图：

A ?nAB?OA?cos?OA,n???OA?n? ● 评注: 若平面?的斜线AO交?于点O,e是单位法向量,

则A到平面?的距离为d?|AO?e|

如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，例2：

GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离. n?O B

例3：正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E,F分别为棱AB,BC的中点。求证:(1)平面B1EF?平面BDD1B1(2)求点D1到平面

B1EF.（提示：先求法向量。原则：有则找，无则求）

课下作业：

基础必做题：课本P111：练习1；练习2；练习3 中档提高题

1、已知ABC?A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧

棱CC1的中点．求点C1到平面AB1D的距离.

D

A

B 图

A1 B1 C1

C

E在CC1上且2、如图，正四棱柱ABCD?A1BC11D1中，AA1?2AB?4，点

C1E?3EC．证明：AC?平面BED. 1

A1 D1 B1 C1

A D B E C

3、在正方体ABCD?A1B1C1D1中，证明：平面A1BD//平面CB1D1.