SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型

摘 要

通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。当λ1 =1.5 和λ2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。

关键词：SARS 微分方程 曲线拟合 数学模型 相轨线

1

一 、问题的提出

SARS俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。我国作为发展中大国深受其害：SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。

二 、模型的假设

1．地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。 2．据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、 免疫者和死亡者）。

3．在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。

4．隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。 5．SARS康复者二度感染的概率为0。

6．国家完善了监控手段，加强了对SARS病毒监控的力度，故可假设所有感染SARS病毒的人群都进入了SARS病人类和疑似类。

7．由于对SARS病原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时SARS病毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。

三、模型的建立

（一）参数的设定和符号说明

s(t)：t时刻健康者在总体人群中的比例 i(t)：t时刻SARS病人在总体人群中的比例 l(t)：t时刻疑似病人在总体人群中的比例

r(t)：t时刻被治愈者、死亡者和免疫者在总体人群中的比例之和。

SARS病人日接触率。为每个病人每天有效接触（足以使健康者受感染变为病人）?1：的平均人数。

u：日治愈率。为每天被治愈的病人占病人总数的比例。

?：日转化率。为每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例。

?：日死亡率。为每天SARS病人死亡的数量和当天病人总数量的比值。

2

?2：疑似感染率。为每天感染为疑似病人的比例。

（二）模型建立

模型一 感染为SARS患者情况

由假设，每个病人每天可使?1s(t)个健康者变为病人，因为病人人数为Ni(t)，所以每天共有?1Ns(t)i(t)个健康者被感染，于是?1Nsi就是病人数Ni的增加率，又因为每天被治愈率为?，死亡率为?，所以每天有?Ni个病人被治愈，有?Ni个病人死亡。那么病人的感染为

Ndi??Nsi??Ni??Ni dt由于

s(t)?i(t)?r(t)?1 (1)

对于退出者

dr?i? (?为所有退出者比例之和) (2) dt由假设可知： ????? 故SARS患者率模型一的方程建立如下：

?di??dt??1s1i?ui??i?ds?1???1s1i??dti(0)?i0s(0)?s0 (3)

r(0)?0 (4)

模型二 疑似患者的变化情况

与前面同样的分析，得到疑似患者率模型二：

?dl??dt??2s2l?l? (5) ?ds?2???2s2l??dt

四、模型求解

（一）参数的确定和分析：

3

1.?,?,?的确定

? =

每天治愈的人数每天确诊的人数每天死亡的人数，? =，? =

当天病人总数当天疑似病人总数当天病人总数用EXCEL电子表格处理题目附件2中所给数据得：? =0.055076，?=0.038183，

?=0.002443。（处理数据见附件）

2．?1,?2的确定

(1)确定?1

很明显从我们建立的模型是无法得到s、i、i0、s0的解析解。为了解决这个问题我们用MATLAB软件中龙格—库塔方法求出他们的数值解。

先通过实际统计数据算出每一天的s、i、i0、s0做出它们与时间的函数图象图1，然后我们再对?1取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图2，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。我们发现当?1?1.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：

<图1>:根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件）

<图2>通过数值解作出的i关于时间t 的变化（画图程序见附件）

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