数的整除(2)质数、合数、分解质因数及答案

数的整除（2）质数、合数、分解质因数

【知识要点】 一、 质数与合数

自然数按其因数的个数可以分成三类：

（1） 单位1：只含有1这一个因数的自然数。 （2） 质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。（质数有无穷多个， 不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。） （3） 合数：含有三个或三个以上因数的自然数。

二、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 因数个数定理： 例如：1980=22×32×5×11 所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6） 因数和的定理： 例如：1980=22×32×5×11

所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（011+111） =7×13×6×12=6552

【典型例题】

例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？

解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。

例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。

解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。

例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？

解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因 数。

因数的和是：（1+2+22+23）×（1+3+32）×（1+5）=1170

例4、筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？ 解：每次拿的个数都是96的因数（除96和1之外），这样问题转化为求96的因数个数，将96分解质因数，得96=2×2×2×2×2×3，除去96和1之外，96的因数有10个：2、3、4、6、8、12、16、24、32、48.有10种不同拿法。

【精英班】例5、504乘一个自然数a，得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数。 解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。504=23×32×7=22×32×（2×7），还少（2×7），使得504×a是个平方数，所以所求的a的最小值是2×7=14；这个平方数是504×14=7056。

【竞赛班】例6、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样分？说明理由。

14，33，35，30，75，39，143，169.

解：14=2×7，33=3×11，35=5×7，30=2×3×5，75=3×5×5，39=3×13，143=11×13，169=13×13.这八个数分解质因数后共有质因数18个（包括相同的），其中：质因数2有两个，质因数3有4个，质因数5有4个，质因数7有2个，质因数11有2个，质因数13有4个。相同的质因数应该平均分摊在两个乘积里，因此可以分为： （1）（14，75，33，169）和（30，35，39，143） 或（2）（14，75，39，143）和（30，35，33，169）.

【课后分层练习】 A组：入门级

1、 有7个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质数是多少？

解：6个奇质数的和是偶数，60减去偶数仍是偶数，所以剩下的一个质数应当是唯一的偶质数2，即这7个数中最小的是2. 2、如果“○”是一个质数，“□”是一个合数，下列第（ 4 ）项的值一定是一个质数。 （1）○ + □ （2）○－□ （3）○×□ （4）○×□÷□ 3、210的因数有几个。这些因数的和是多少？

解：210=2×3×5×7，根据因数个数和及因数和定理有：210的因数有（1+1）×（1+1） ×（1+1）×（1+1）=16个。这些因数的和是1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）=576. 4、 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？

解：105=3×5×7；105共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个因数，所以共有不同8÷2=4（种）拼法。

5、 有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三人年龄的乘积是1620.这三个学生 的年龄分别是几岁。

解：1620=2×2×3×3×3×3×5=9×12×15.他们的年龄分别是9岁、12岁、15岁。

B组：进阶级

1、 哥德巴赫猜想是说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和，问：168是哪两个 两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1？

解：个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71；其中168－11=157，168－31=137，168－41=127，168－61=107，都不是两位数，只有168－71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97. 2、甲、乙二人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的因数。最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数，试问谁一定获胜？给出一种获胜的方法。 解：甲必胜。甲先写6，这样除去6的因数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10中的一个数，甲心中把（4，5），（7，9），（8，10）分组，乙写任何一组中的某个数，甲写这一组中的另一个数，则甲总可获胜。

3、将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数分成三组，第一组数的连乘积与第三组数的连乘积相等，第二组各数的和是15，问每组的数各是多少？

解：2，4=2×2，6=2×3，8=2×2×2，由于两组的积相等，显然是4和6在一组，1、2、5、7只出现一次，其和正好为15.这样3，4，6，8，9分成两组，即为3，4，6和8，9.因此三组数是：（3，4，6）；（1，2，5，7）；（8，9）。 4、1×2×3×?×40能否被90909整除？

解：首先将90909分解质因数，得 90909=33×7×13×37。 因为33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×?×40能被90909整除。

C组：挑战级

1、 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在 100至200之间，共有几种分法？

解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的因数。为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10。

所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。

2、试求不大于50的所有因数个数为6的自然数。 解：因为这个数有六个因数，6=5+1=（2+1）×（1+1），所以，当这个数只有一个质因数a时，这个数是a5；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2×b。因为这个数不大于50，所以对于a5，只有a=2，即25=32；对于a2×b，经试算得到，22×3=12，22×5=20，22×7=28，22×11=44，32×2=18，32×5=45，52×2=50。所以满足题意的数有八个：32，12，20，28，44，18，45，50

3、要使1×2×3×4×5×?×n的积得尾部仅有10个连续的零，n最小值是（ ）；最大值是（ ）。

解：这n个连续自然数分解质因数后至少必须共含有十个因数2和十个因数5.当n=45时，其中5的倍数有9个，一个倍数是25的，已经含有十个因数5.这样最小值是45，最大值是49.

【温馨提示】下节课我们将学习《数的整除（3）最大公因数、最小公倍数》，请作好预习。